Note del corso di Fisica Matematica A

2.4 Cinematica dei sistemi 37
Durante la precessione regolare il prodotto scalare ω1 · ω2 rimane costante. Infatti, il parallelogramma,
individuato da ω1 e ω2 supposti applicati in O, pur ruotando uniformemente intorno al
suo lato disposto lungo la p, conserva inalterata la sua configurazione. Inoltre la linea d’azione della
velocità angolare ω della precessione, cioé il rispettivo asse di moto, si mantiene inclinata di un
angolo costante tanto sulla p quanto sulla f. Infatti, se chiamiamo ϕ l’angolo formato dall’asse di
figura e l’asse di moto si avrà
ω ·ω1
cosϕ = =
ωω1
ω2 1 +ω1 ·ω2
, ω =
ωω1
√
ω ·ω = ω2 1 +ω2 2 +2ω1 ·ω2
costante. In modo analogo si prova che l’angolo formato dall’asse di precessione e l’asse di moto è
costante.
Un esempio di precessione regolare è fornito dal moto della terra intorno al suo centro O. Infatti
l’asse polare f non conserva (rispetto alle stelle fisse) direzione invariabile, bensì ruota a sua volta
uniformementeintornoadunarettapdidirezionefissa,passanteperilcentroterrestreO,ortogonale
al piano dell’eclittica.
2.3.4 Esercizi
Esercizio 2.1: Un punto P si muove con legge nota x1 = x1(t) su una retta (O1;x1) che a sua
volta ruota nel piano (O;x,y) attorno ad un asse normale a tale piano passante per O ≡ O1 con
legge assegnata θ = θ(t), dove θ = xOx1. Studiare il moto di P rispetto all’osservatore O facendo
uso dei Teoremi di composizione delle velocità e delle accelerazioni. Discutere poi i casi particolari:
˙x1(t) = c
a) ˙θ(t)
, c e ω costanti positive;
= ω
x1(t) = Acos(Ωt)
b) , A, Ω e ω costanti positive .
θ(t) = ωt
Esercizio 2.2: Un punto P si muove lungo una circonferenza di raggio R e centro O1 con legge
θ = θ(t), a sua volta la circonferenza trasla nel piano con legge
˙x1(t) = ct
a) , c è una costante;
y1(t) = 0
x1(t) = Acos(Ωt)
b) , A, e Ω costanti positive.
y1(t) = 0
dove (x1,y1) sono le coordinate di O1 rispetto all’osservatore O. Studiare il moto di P rispetto
all’osservatore O facendo uso dei Teoremi di composizione delle velocità e delle accelerazioni. Discutere
poi il caso particolare ˙ θ = ω costante.
2.4 Cinematica dei sistemi
2.4.1 Sistemi olonomi
Se un sistema di N punti è soggetto a vincoli o legami questi si esprimono mediante ℓ equazioni
indipendenti della forma