Note del corso di Fisica Matematica A

36 2 Cinematica
2.3.2 Derivata vettoriale rispetto ad assi in moto
Se un vettore v := v(t) è riferito ad una terna (O;x,y,z) resta definita la derivata vettoriale di v
come quel vettore che ha per componenti, rispetto alla terna fissata, le derivate delle componenti di
v. Tale derivata non varia se calcolata rispetto ad un’altra terna solidale (o anche traslante) con
la prima; essa varia, invece, quando calcolata rispetto ad una terna in moto rispetto a quella data.
Denotiamo con dv
dt
O la derivata (assoluta) di v rispetto alla terna fissa (O;x,y,z) e con dv
dt
O ′
la derivata (relativa) di v rispetto alla terna mobile (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ). Possiamo supporre, al fine
del
calcolo della derivata vettoriale, O = O ′ . Sia P −O = v, quindi i due vettori dv
dt
O e dv
dt
non
O ′
sono altro che la velocità assoluta e relativa di P; quindi, se ω designa la velocità angolare della terna
(O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) rispetto alla terna (O;x,y,z), segue che:
dv
dt
O
=
dv
dt
O ′
+ω ×(P −O ′ ) =
si noti che le due derivate coincidono sempre e solo quando si annulla ω ×v.
Dalla (2.49), applicata al vettore ω, segue che:
dω dω
=
dt dt O O ′
;
dv
dt O ′
+ω ×v (2.49)
cioé nel moto di un sistema rigido la velocità angolare ha la stessa derivata rispetto alla terna
fissa e a quella solidale con il sistema. In particolare, osservando che la derivata di uno scalare è
indipendentente dalla terna di riferimento, segue che
dversω dversω
= ;
dt dt
cioé:
O
Teorema 2.21. Se durante il moto di un sistema rigido l’asse di moto ha direzione fissa entro il
sistema allora ha direzione fissa nello spazio e viceversa.
La(2.49)permetteinoltredidimostrareilseguente:ognimotoelicoidaleuniformeha,perqualsiasi
centro di riduzione, vettori caratteristici costanti rispetto agli assi mobili.
2.3.3 Precessioni regolari
Sia dato un sistema rigido S che ruota uniformemente intorno ad un asse f solidale con esso;
il quale, a sua volta, mantenendosi solidale ed incidente ad un asse fisso p, ruoti uniformemente
intorno a quest’ultimo. Diremo precessione regolare il moto assoluto di S, generato dal moto
di trascinamento di f intorno a p e dal moto relativo di S intorno a f (l’uno e l’altro moti relativi
uniformi). L’asse p, fisso nello spazio, si dice asse di precessione; l’asse f, fisso nel corpo, asse di
figura; il punto O, comune ai due assi, si dice polo della precessione.
Se ω1 è la velocità angolare di S intorno a f (vettore di lunghezza costante e di direzione e verso
costante rispetto al sistema rigido) e ω2 quella di f intorno a p (vettore di lunghezza costante e fisso
nello spazio), allora la velocità angolare ω dell’atto di moto rotatorio della precessione è data ad ogni
istante da ω = ω1 +ω2 e l’asse di istantanea rotazione passa per O.
O ′