Note del corso di Fisica Matematica A
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Il moto assoluto <strong>di</strong> P è dato dalla legge<br />
P −O = (O ′ −O)+x ′ î ′ +y ′ ˆj ′ +z ′ˆ k ′<br />
2.3 Moti relativi e applicazioni ai moti rigi<strong>di</strong> 35<br />
(2.42)<br />
dove x ′ = x ′ (t), y ′ = y ′ (t), z ′ = z ′ (t) sono le equazioni <strong>del</strong> moto relativo <strong>di</strong> P e dove i versori î ′ ,ˆj ′<br />
e ˆ k ′<br />
si muovono rispetto all’osservatore assoluto.<br />
È imme<strong>di</strong>ato provare che:<br />
Teorema 2.19. Se denotiamo con va(P) e vr(P) le velocità <strong>del</strong> punto P rispetto al sistema fisso (velocità<br />
assoluta) e rispetto al sistema mobile (velocità relativa) allora vale la seguente relazione:<br />
dove<br />
va(P) = dP<br />
dt<br />
è la velocità <strong>di</strong> trascinamento, v(O ′ ) = dO′<br />
dt<br />
mobile, e<br />
è l’espressione <strong>del</strong>la velocità relativa.<br />
= vr(P)+vτ(P)<br />
vτ(P) = dO′<br />
dt +ω ×(P −O′ ) (2.43)<br />
e ω sono i vettori caratteristici <strong>del</strong> moto <strong>del</strong> sistema<br />
vr(P) = ˙x ′ î ′ + ˙y ′ ˆj ′ + ˙z ′ˆ k ′<br />
Da ciò segue che, in generale, ogni atto <strong>di</strong> moto assoluto si ottiene componendo i due atti<br />
simultanei <strong>di</strong> moto relativo e <strong>di</strong> moto <strong>di</strong> trascinamento.<br />
Teorema 2.20. Se denotiamo con aa(P) e ar(P) le accelerazioni <strong>del</strong> punto P rispetto al sistema fisso<br />
(accelerazione assoluta) e rispetto al sistema mobile ( accelerazione relativa) allora sussiste la<br />
seguente relazione:<br />
dove<br />
aa(P) = d2 P<br />
dt 2 = ar(P)+aτ(P)+ac(P) (2.44)<br />
aτ(P) = d2 O ′<br />
è l’accelerazione <strong>di</strong> trascinamento,<br />
dt2 +x′d2 î ′<br />
dt2 +y′d2 ˆj ′<br />
dt2 +z′d2ˆ<br />
′<br />
k<br />
dt2 ar(P) = ¨x ′ î ′ + ¨y ′ ˆj ′ + ¨z ′ˆ k ′<br />
(2.45)<br />
(2.46)<br />
è l’accelerazione relativa e<br />
⎧<br />
⎨<br />
ac(P) = 2<br />
⎩ ˙x′dî′ + ˙y′dˆj′<br />
dt dt + ˙z′dˆ k ′<br />
⎫<br />
⎬<br />
dt ⎭ = 2ω ×vr(P) (2.47)<br />
è l’accelerazione <strong>di</strong> Coriolis detta anche accelerazione complementare (sempre ortogonale<br />
all’asse <strong>del</strong> moto <strong>di</strong> trascinamento e alla velocità relativa).<br />
Da quanto detto in precedenza si ha che l’accelerazione <strong>di</strong> trascinamento assume anche la forma<br />
aτ(P) = d2O ′<br />
dt2 + ˙ω ×(P −O′ )+ω ×[ω ×(P −O ′ )] (2.48)