Note del corso di Fisica Matematica A

Il moto assoluto di P è dato dalla legge
P −O = (O ′ −O)+x ′ î ′ +y ′ ˆj ′ +z ′ˆ k ′
2.3 Moti relativi e applicazioni ai moti rigidi 35
(2.42)
dove x ′ = x ′ (t), y ′ = y ′ (t), z ′ = z ′ (t) sono le equazioni del moto relativo di P e dove i versori î ′ ,ˆj ′
e ˆ k ′
si muovono rispetto all’osservatore assoluto.
È immediato provare che:
Teorema 2.19. Se denotiamo con va(P) e vr(P) le velocità del punto P rispetto al sistema fisso (velocità
assoluta) e rispetto al sistema mobile (velocità relativa) allora vale la seguente relazione:
dove
va(P) = dP
dt
è la velocità di trascinamento, v(O ′ ) = dO′
dt
mobile, e
è l’espressione della velocità relativa.
= vr(P)+vτ(P)
vτ(P) = dO′
dt +ω ×(P −O′ ) (2.43)
e ω sono i vettori caratteristici del moto del sistema
vr(P) = ˙x ′ î ′ + ˙y ′ ˆj ′ + ˙z ′ˆ k ′
Da ciò segue che, in generale, ogni atto di moto assoluto si ottiene componendo i due atti
simultanei di moto relativo e di moto di trascinamento.
Teorema 2.20. Se denotiamo con aa(P) e ar(P) le accelerazioni del punto P rispetto al sistema fisso
(accelerazione assoluta) e rispetto al sistema mobile ( accelerazione relativa) allora sussiste la
seguente relazione:
dove
aa(P) = d2 P
dt 2 = ar(P)+aτ(P)+ac(P) (2.44)
aτ(P) = d2 O ′
è l’accelerazione di trascinamento,
dt2 +x′d2 î ′
dt2 +y′d2 ˆj ′
dt2 +z′d2ˆ
′
k
dt2 ar(P) = ¨x ′ î ′ + ¨y ′ ˆj ′ + ¨z ′ˆ k ′
(2.45)
(2.46)
è l’accelerazione relativa e
⎧
⎨
ac(P) = 2
⎩ ˙x′dî′ + ˙y′dˆj′
dt dt + ˙z′dˆ k ′
⎫
⎬
dt ⎭ = 2ω ×vr(P) (2.47)
è l’accelerazione di Coriolis detta anche accelerazione complementare (sempre ortogonale
all’asse del moto di trascinamento e alla velocità relativa).
Da quanto detto in precedenza si ha che l’accelerazione di trascinamento assume anche la forma
aτ(P) = d2O ′
dt2 + ˙ω ×(P −O′ )+ω ×[ω ×(P −O ′ )] (2.48)