Note del corso di Fisica Matematica A
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2.2 Cinematica dei sistemi rigi<strong>di</strong> 33<br />
e, identificando la (2.39) con la (2.40), si ottiene il risultato cercato: cioé una parametrizzazione dei<br />
coseni <strong>di</strong>rettori in funzione <strong>di</strong> tre parametri in<strong>di</strong>pendenti.<br />
Determiniamo infine l’espressione <strong>del</strong>la velocità angolare ω nel moto rigido istantaneo. Per determinare<br />
ω in funzione dei tre parametri lagrangiani si osserva che il generico stato cinetico <strong>di</strong> rotazione<br />
può essere scritto come la composizione <strong>di</strong> tre stati cinetici <strong>di</strong> rotazione aventi asse passante per O:<br />
Proiettando ω sulla terna solidale si ottiene<br />
dove<br />
da cui segue<br />
2.2.8 Esercizi<br />
ˆN = cosφî ′ −sinφˆj ′<br />
ω = ˙ ψ ˆ k+ ˙ θ ˆ N + ˙ φ ˆ k ′<br />
.<br />
ω = pî ′ +qˆj ′ +r ˆ k ′<br />
ˆk = ( ˆ k·î ′ )î ′ +( ˆ k·ˆj ′ )ˆj ′ +( ˆ k· ˆ k ′<br />
) ˆ k ′<br />
= α3î ′ +β3ˆj ′ +γ3 ˆ k ′<br />
⎧<br />
⎪⎨ p =<br />
⎪⎩<br />
˙ θcosφ+ ˙ ψα3 = ˙ θcosφ+ ˙ ψsinθsinφ<br />
q = −˙ θsinφ+ ˙ ψβ3 = −˙ θsinφ+ ˙ ψsinθcosφ<br />
r = ˙ φ+ ˙ ψγ3 = ˙ φ+ ˙ ψcosθ<br />
(2.41)<br />
Esercizio 2.1: Una lamina quadrata ABCD rigida <strong>di</strong> lato ℓ è, all’istante considerato t, soggetta<br />
ai seguenti quattro stati cinentici <strong>di</strong> rotazione (ω,A), (ω,B), (−ω,C) e (−ω,D), dove ω è normale<br />
alla lamina, nota che lo stato cinetico <strong>di</strong> rotazione (ω,O1) è lo stato cinetico avente velocità angolare<br />
ω e asse istantaneo <strong>di</strong> rotazione parallelo a ω e passante per O1. Stu<strong>di</strong>are lo stato cinetico risultante.<br />
Esercizio 2.2: Il triangolo OAB, rettangolo, rigido, isoscele, retto in O e con cateti lunghi ℓ, ha,<br />
all’istante considerato t, il cateto OB sull’asse (O;z) e l’altro cateto OA sul piano (O;x,y) formante<br />
angoli uguali con gli assi (O;x) e (O;y). Del moto rigido si conoscono all’istante t le velocità:<br />
v(O) = vOî e v(B) = vBxî+vByˆj.<br />
Sapendo inoltre che il vettore velocità angolare ω = pî+qˆj+r ˆ k ha componente nulla lungo l’asse z<br />
(r = 0), si chiede:<br />
i. il vettore velocità angolare <strong>del</strong> corpo rigido;<br />
ii. la velocità <strong>del</strong> punto A;<br />
iii.tipo <strong>di</strong> stato cinetico all’istante t.<br />
Esercizio 2.3: All’istante considerato t un cubo rigido <strong>di</strong> spigolo ℓ ha il vertice A nell’origine <strong>del</strong><br />
sistema <strong>di</strong> riferimento ed i lati AB , AC e AD lungo gli assi (O;x), (O;y) e (O;z) ed è dotato <strong>di</strong><br />
due stati cinetici <strong>di</strong> rotazione (ω1 = 3aî,B) e (ω2 = 4a ˆ k,D) e <strong>di</strong> uno stato cinetico <strong>di</strong> traslazione <strong>di</strong><br />
velocità v0î; si domanda: