Note del corso di Fisica Matematica A

2.2 Cinematica dei sistemi rigidi 33
e, identificando la (2.39) con la (2.40), si ottiene il risultato cercato: cioé una parametrizzazione dei
coseni direttori in funzione di tre parametri indipendenti.
Determiniamo infine l’espressione della velocità angolare ω nel moto rigido istantaneo. Per determinare
ω in funzione dei tre parametri lagrangiani si osserva che il generico stato cinetico di rotazione
può essere scritto come la composizione di tre stati cinetici di rotazione aventi asse passante per O:
Proiettando ω sulla terna solidale si ottiene
dove
da cui segue
2.2.8 Esercizi
ˆN = cosφî ′ −sinφˆj ′
ω = ˙ ψ ˆ k+ ˙ θ ˆ N + ˙ φ ˆ k ′
.
ω = pî ′ +qˆj ′ +r ˆ k ′
ˆk = ( ˆ k·î ′ )î ′ +( ˆ k·ˆj ′ )ˆj ′ +( ˆ k· ˆ k ′
) ˆ k ′
= α3î ′ +β3ˆj ′ +γ3 ˆ k ′
⎧
⎪⎨ p =
⎪⎩
˙ θcosφ+ ˙ ψα3 = ˙ θcosφ+ ˙ ψsinθsinφ
q = −˙ θsinφ+ ˙ ψβ3 = −˙ θsinφ+ ˙ ψsinθcosφ
r = ˙ φ+ ˙ ψγ3 = ˙ φ+ ˙ ψcosθ
(2.41)
Esercizio 2.1: Una lamina quadrata ABCD rigida di lato ℓ è, all’istante considerato t, soggetta
ai seguenti quattro stati cinentici di rotazione (ω,A), (ω,B), (−ω,C) e (−ω,D), dove ω è normale
alla lamina, nota che lo stato cinetico di rotazione (ω,O1) è lo stato cinetico avente velocità angolare
ω e asse istantaneo di rotazione parallelo a ω e passante per O1. Studiare lo stato cinetico risultante.
Esercizio 2.2: Il triangolo OAB, rettangolo, rigido, isoscele, retto in O e con cateti lunghi ℓ, ha,
all’istante considerato t, il cateto OB sull’asse (O;z) e l’altro cateto OA sul piano (O;x,y) formante
angoli uguali con gli assi (O;x) e (O;y). Del moto rigido si conoscono all’istante t le velocità:
v(O) = vOî e v(B) = vBxî+vByˆj.
Sapendo inoltre che il vettore velocità angolare ω = pî+qˆj+r ˆ k ha componente nulla lungo l’asse z
(r = 0), si chiede:
i. il vettore velocità angolare del corpo rigido;
ii. la velocità del punto A;
iii.tipo di stato cinetico all’istante t.
Esercizio 2.3: All’istante considerato t un cubo rigido di spigolo ℓ ha il vertice A nell’origine del
sistema di riferimento ed i lati AB , AC e AD lungo gli assi (O;x), (O;y) e (O;z) ed è dotato di
due stati cinetici di rotazione (ω1 = 3aî,B) e (ω2 = 4a ˆ k,D) e di uno stato cinetico di traslazione di
velocità v0î; si domanda: