Note del corso di Fisica Matematica A

32 2 Cinematica
dove
⎧
⎪⎨ x = α1x
⎪⎩
′ +β1y ′ +γ1z ′
y = α2x ′ +β2y ′ +γ2z ′
z = α3x ′ +β3y ′ +γ3z ′
(2.39)
α1 = î·î ′ , β1 = î·ˆj ′ , γ1 = î· ˆ k ′
α2 =ˆj·î ′ , β2 =ˆj·ˆj ′ , γ2 =ˆj· ˆ k ′
α3 = ˆ k·î ′ , β3 = ˆ k·ˆj ′ , γ3 = ˆ k· ˆ k ′
sono i coseni direttori degli assi del sistema (O;x ′ ,y ′ ,z ′ ).
Osserviamo che il modo per passare da un sistema all’altro consiste nell’effettuare, nell’ordine:
i. una rotazione ψ attorno all’asse (O;z) in modo da portare l’asse (O;x) sull’asse nodale (O;N);
ii. una rotazione θ attorno all’asse (O;N) in modo da portare l’asse (O;z) sull’asse (O;z ′ );
iii.una rotazione φ attorno all’asse (O;z ′ ) in modo da portare l’asse nodale (O;N) sull’asse (O;x ′ ).
Osserviamo che se i due piani (O;x,y) e (O;x ′ ,y ′ ) si sovrappongono allora θ = 0 (o θ = π) e la
prima e la terza rotazione sono effettuate attorno allo stesso asse e possono essere sostituire da una
rotazione dell’angolo ψ±φ. Le formule di trasformazione possono essere scritte in forma matriciale
come
dove
⎛ ⎞ ⎛
x x
⎜ ⎟ ⎜
⎝y
⎠ = Eψθφ ⎝
z
′
y ′
z ′
⎞
⎟
⎠, Eψθφ = EψEθEφ (2.40)
i. Eψ definisce una rotazione ψ attorno all’asse (O;z)
⎛ ⎞
cosψ −sinψ 0
⎜ ⎟
Eψ = ⎝sinψ
cosψ 0⎠;
0 0 1
ii. Eθ definisce una rotazione θ attorno all’asse (O;N)
⎛ ⎞
1 0 0
⎜ ⎟
Eθ = ⎝0
cosθ −sinθ ⎠;
0 sinθ cosθ
iii.Eφ definisce una rotazione φ attorno all’asse (O;z ′ )
⎛ ⎞
cosφ −sinφ 0
⎜ ⎟
Eφ = ⎝sinφ
cosφ 0⎠.
0 0 1
Effettuando i prodotti si ottiene infine
⎛ ⎞
⎜
Eψθφ = ⎝
α1 β1 γ1
⎟
α2 β2 γ2⎠
α3 β3 γ3
⎛
⎞
(cosψcosφ−sinψcosθsinφ) (−cosψsinφ−sinψcosθcosφ) (sinψsinθ)
⎜
⎟
= ⎝(sinψcosφ+cosψcosθsinφ)
(−sinψsinφ+cosψcosθcosφ) (−cosψsinθ) ⎠
(sinθsinφ) (sinθcosφ) (cosθ)