Note del corso di Fisica Matematica A
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2.2 Cinematica dei sistemi rigi<strong>di</strong> 31<br />
iv.componendo due atti <strong>di</strong> moto rotatori intorno ad assi paralleli <strong>di</strong>stinti r1, r2 e <strong>di</strong> velocità<br />
angolari ω1, ω2 opposte (cioé ω2 = −ω1), si ottiene un atto <strong>di</strong> moto traslatorio, in <strong>di</strong>rezione<br />
ortogonale al piano <strong>del</strong>la striscia r1, r2 dei moti componenti ed ha per velocità il momento <strong>del</strong>la<br />
coppia <strong>del</strong>le velocità angolari ω1, ω2 localizzate ciascuna lungo l’asse rispettivo. Infatti:<br />
v(P) = v1(P)+v2(P) = ω1 ×(P −O1)−ω1 ×(P −O2)<br />
= ω1 ×(O2 −O1)<br />
che è in<strong>di</strong>pendente da P.<br />
v. componendo due atti <strong>di</strong> moto rotatori intorno ad assi sghembi r1, r2 e <strong>di</strong> velocità angolari ω1,<br />
ω2, si ottiene un atto <strong>di</strong> moto rototraslatorio. Infatti:<br />
v(P) = v1(P)+v2(P) = ω1 ×(P −O1)+ω2 ×(P −O2)<br />
= ω1 ×(P −O1)+ω2 ×(P −O2)+ω1 ×(P −O2)−ω1 ×(P −O2)<br />
= u+(ω1 +ω2)×(P −O2)<br />
dove O1 e O2 sono due punti su r1 ed r2 e dove u = ω1 ×(O2 −O1).<br />
2.2.7 Angoli <strong>di</strong> Eulero<br />
UnsistemarigidoS èdeterminatorispettoadunsistema<br />
<strong>di</strong> riferimento fisso (O;x,y,z) se è determinato il sistema<br />
<strong>di</strong> riferimento solidale (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) rispetto a quello fisso.<br />
Per fare ciò è sufficiente determinare le coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong> O ′ (3<br />
parametri) e i tre versori î ′ ,ˆj ′ , ˆ k ′<br />
(9 parametri, <strong>di</strong> cui solo 3<br />
in<strong>di</strong>pendenti). Supponendo, senza perdere in generalità,<br />
che O = O ′ si utilizza il seguente metodo <strong>di</strong> rappresentazione<br />
<strong>del</strong>la terna solidale rispetto a quella fissa. Sia N<br />
la retta intersezione tra i piani (O;x,y) e (O;x ′ ,y ′ ) (supposti,<br />
per un momento, non complanari), perpen<strong>di</strong>colare a<br />
z e z ′ , passante per O = O ′ e orientata in modo che l’angolo<br />
<br />
zOz<br />
Fig. 2.8. Angoli <strong>di</strong> Eulero.<br />
′ appaia destro, detta linea dei no<strong>di</strong>. L’angolo zOz ′ ,<br />
in (0,π), si <strong>di</strong>ce angolo <strong>di</strong> nutazione (designato con θ).<br />
Si <strong>di</strong>ce poi angolo <strong>di</strong> precessione, e si denota con ψ,<br />
l’anomalia xON (misurata nel verso destro rispetto a z). Infine si <strong>di</strong>ce angolo <strong>di</strong> rotazione propria,<br />
e si denota con φ, l’anomalia NOx ′ (misurata nel verso destro rispetto a z ′ ). I due angoli ψ e<br />
φ sono variabili ciascuno nell’intervallo [0,2π), cioé sul toro T 1 ≡ R/2πZ. L’angolo <strong>di</strong> nutazione θ é<br />
invece variabile nell’intervallo [0,π]. I tre angoli θ, ψ e φ così definiti si chiamano angoli <strong>di</strong> Eulero.<br />
Nel caso, al momento escluso, in cui i piani (O;x,y) e (O;x ′ ,y ′ ) coincidano allora l’angolo <strong>di</strong><br />
nutazione θ corrisponde a 0 o a π mentre la linea dei no<strong>di</strong> N resta indeterminata (e quin<strong>di</strong> tali<br />
risultano anche gli angoli ψ e φ). In ogni caso resta determinata la somma ψ +φ = xOx ′ e questa<br />
anomalia, insieme a θ = 0 o θ = π, determina la posizione <strong>del</strong> sistema <strong>di</strong> riferimento solidale rispetto<br />
a quello assoluto.<br />
Non è inutile esprimere le formule <strong>di</strong> trasformazione <strong>del</strong>le coor<strong>di</strong>nate tra i due sistemi in funzione<br />
<strong>di</strong> questi tre parametri. Se (x,y,z) e (x ′ ,y ′ ,z ′ ) sono le coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong> un generico punto rispetto ai<br />
due sistemi <strong>di</strong> riferimento allora varranno le formule <strong>di</strong> trasformazione:<br />
<br />
<br />
θ<br />
ψ φ