Note del corso di Fisica Matematica A

2.2 Cinematica dei sistemi rigidi 31
iv.componendo due atti di moto rotatori intorno ad assi paralleli distinti r1, r2 e di velocità
angolari ω1, ω2 opposte (cioé ω2 = −ω1), si ottiene un atto di moto traslatorio, in direzione
ortogonale al piano della striscia r1, r2 dei moti componenti ed ha per velocità il momento della
coppia delle velocità angolari ω1, ω2 localizzate ciascuna lungo l’asse rispettivo. Infatti:
v(P) = v1(P)+v2(P) = ω1 ×(P −O1)−ω1 ×(P −O2)
= ω1 ×(O2 −O1)
che è indipendente da P.
v. componendo due atti di moto rotatori intorno ad assi sghembi r1, r2 e di velocità angolari ω1,
ω2, si ottiene un atto di moto rototraslatorio. Infatti:
v(P) = v1(P)+v2(P) = ω1 ×(P −O1)+ω2 ×(P −O2)
= ω1 ×(P −O1)+ω2 ×(P −O2)+ω1 ×(P −O2)−ω1 ×(P −O2)
= u+(ω1 +ω2)×(P −O2)
dove O1 e O2 sono due punti su r1 ed r2 e dove u = ω1 ×(O2 −O1).
2.2.7 Angoli di Eulero
UnsistemarigidoS èdeterminatorispettoadunsistema
di riferimento fisso (O;x,y,z) se è determinato il sistema
di riferimento solidale (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) rispetto a quello fisso.
Per fare ciò è sufficiente determinare le coordinate di O ′ (3
parametri) e i tre versori î ′ ,ˆj ′ , ˆ k ′
(9 parametri, di cui solo 3
indipendenti). Supponendo, senza perdere in generalità,
che O = O ′ si utilizza il seguente metodo di rappresentazione
della terna solidale rispetto a quella fissa. Sia N
la retta intersezione tra i piani (O;x,y) e (O;x ′ ,y ′ ) (supposti,
per un momento, non complanari), perpendicolare a
z e z ′ , passante per O = O ′ e orientata in modo che l’angolo
zOz
Fig. 2.8. Angoli di Eulero.
′ appaia destro, detta linea dei nodi. L’angolo zOz ′ ,
in (0,π), si dice angolo di nutazione (designato con θ).
Si dice poi angolo di precessione, e si denota con ψ,
l’anomalia xON (misurata nel verso destro rispetto a z). Infine si dice angolo di rotazione propria,
e si denota con φ, l’anomalia NOx ′ (misurata nel verso destro rispetto a z ′ ). I due angoli ψ e
φ sono variabili ciascuno nell’intervallo [0,2π), cioé sul toro T 1 ≡ R/2πZ. L’angolo di nutazione θ é
invece variabile nell’intervallo [0,π]. I tre angoli θ, ψ e φ così definiti si chiamano angoli di Eulero.
Nel caso, al momento escluso, in cui i piani (O;x,y) e (O;x ′ ,y ′ ) coincidano allora l’angolo di
nutazione θ corrisponde a 0 o a π mentre la linea dei nodi N resta indeterminata (e quindi tali
risultano anche gli angoli ψ e φ). In ogni caso resta determinata la somma ψ +φ = xOx ′ e questa
anomalia, insieme a θ = 0 o θ = π, determina la posizione del sistema di riferimento solidale rispetto
a quello assoluto.
Non è inutile esprimere le formule di trasformazione delle coordinate tra i due sistemi in funzione
di questi tre parametri. Se (x,y,z) e (x ′ ,y ′ ,z ′ ) sono le coordinate di un generico punto rispetto ai
due sistemi di riferimento allora varranno le formule di trasformazione:
θ
ψ φ