Note del corso di Fisica Matematica A

30 2 Cinematica
2.2.6 Composizione di atti di moto
Definizione 2.17. Se, per un medesimo sistema di punti, si considerano due diversi atti di moto
si dice moto composto tra i due quello in cui ogni punto del sistema ha, come velocità, la somma
vettoriale delle velocità spettanti a quel medesimo punto nei due atti di moto considerati.
Si ha che l’atto di moto composto di due atti di moto rigidi è rigido; infatti, siano v ′ (P) e
v ′′ (P) le velocità relative ai due atti di moto e sia v(P) = v ′ (P)+v ′′ (P) la velocità relativa all’atto
di moto composto; siano dati due punti P1 e P2 qualunque e appartenenti al sistema; allora sarà
essendo
[v(P2)−v(P1)]·(P2 −P1) =
= [(v ′ (P2)+v ′′ (P2))−(v ′ (P1)+v ′′ (P1))]·(P2 −P1) = 0
(v ′ (P2)−v ′ (P1))·(P2 −P1) = 0 e (v ′′ (P2)−v ′′ (P1))·(P2 −P1) = 0.
Se v ′ 0, ω ′ e v ′′
0, ω ′′ sono i vettori caratteristici dei due atti di moto componenti rispetto ad
un medesimo polo O ′ , allora i vettori caratteristici, rispetto allo stesso polo O ′ , di un
atto di rigido composto si ottengono sommando vettorialmente gli omonimi vettori
caratteristici dei moti componenti, rispetto a quel medesimo polo. Infatti:
Da ciò segue che:
v(P) = v1(P)+v2(P) = v ′ O +ω ′ ×(P −O ′ )+v ′′ O +ω ′′ ×(P −O ′ )
= (v ′ O +v ′′ O)+(ω ′ +ω ′′ )×(P −O ′ )
i. componendo due atti di moto traslatori si ottiene ancora un atto di moto traslatorio;
ii. componendodue atti di moto rotatori,conassiistantaneidirotazioneconcorrentiinunpunto
O ′ , si ottiene un atto di moto rotatorio avente asse istantaneo di rotazione pure concorrente
in O ′ ed ha per velocità angolare la somma vettoriale delle velocità angolari degli atti di moto
rotatori componenti;
iii.componendo due atti di moto rotatori intorno ad assi paralleli distinti r1, r2 e di velocità
angolariω1,ω2 nonopposte,siottieneun atto di moto rotatoriodivelocitàangolareω1+ω2,il
cuiasseèparalleloadr1,r2,egiacenelpianodellastrisciar1, r2,dividendolainpartiinversamente
proporzionali a ω1, ω2, internamente od esternamente, secondo che ω1, ω2 siano di verso concorde
o discorde. Infatti:
v(P) = v1(P)+v2(P) = ω1 ×(P −O1)+ω2 ×(P −O2)
= (ω1 +ω2)×(P −O ′ )
dove O1 e O2 sono due punti su r1 ed r2 tali che O2 − O1 è ortogonale a r2, dove O è tale che
ω1×(O ′ −O1) = ω2×(O2−O ′ ). Più precisamente, introducendo un asse orientato avente origine
in O1 e diretto verso O2 in modo che sia O2 − O1 = dî, d > 0, ωj = ωjˆj, O ′ − O1 = xî, allora
l’equazione ω1 ×(O ′ −O1)+ω2 ×(O ′ −O2) = 0 diventa
xω1 +ω2(x−d) = 0 che ha soluzione x = d ω2
.
ω1 +ω2