Note del corso di Fisica Matematica A

2.2 Cinematica dei sistemi rigidi 29
+ se ω = 0 lo stato cinetico è rotatorio;
+ se ω = 0 e v(O ′ ) = 0 lo stato cinetico è traslatorio;
+ se ω = 0 e v(O ′ ) = 0 lo stato cinetico è nullo (cioé tutti i punti hanno velocità nulla).
Dimostrazione. La dimostrazione si basa sulla formula fondamentale della cinematica rigida. Poniamo
v◦ = (O ′ ) e consideriamo inizialmente il caso in cui I = 0. L’invariante è nullo se:
- ω = 0 e v◦ = 0, allora in questo caso v(P) = 0 per ogni punto P del corpo rigido e lo stato
cinetico è nullo;
- ω = 0 e v◦ = 0, allora in questo caso v(P) = v◦ = 0 per ogni punto P del corpo rigido e lo stato
cinetico è traslatorio;
- ω = 0 e v◦ = 0, allora in questo caso v(P) = ω ×(P −O ′ ) per ogni punto P del corpo rigido e
lo stato cinetico è rotatorio;
- ω = 0 e v◦ = 0 con ω ⊥ v◦, allora esiste O ′′ tale che v◦ = ω×(O ′ −O ′′ ) e in questo caso possiamo
scrivere che
v(P) = v◦ +ω ×(P −O ′ ) = ω ×(O ′ −O ′′ )++ω ×(P −O ′ )
= ω ×(P −O ′′ )
per ogni punto P del corpo rigido e lo stato cinetico è rotatorio con asse istantaneo di rotazione
passante per O ′′ e parallelo a ω;
Consideriamo infine il caso in cui I = 0, ovvero
ω = 0, v◦ = 0 con ω ⊥ v◦,
decomponendo v◦ = v + v⊥ lungo le direzioni parallela e perpendicolari a ω allora esiste O ′′ tale
che v⊥ = ω ×(O ′ −O ′′ ) e in questo caso possiamo scrivere che
v(P) = v◦ +ω ×(P −O ′ ) = v +ω ×(O ′ −O ′′ )++ω ×(P −O ′ )
= v +ω ×(P −O ′′ )
per ogni punto P del corpo rigido e lo stato cinetico è elicoidale con asse di Mozzi passante per O ′′
e parallelo a ω.
Derivando la (2.37) l’accelerazione viene scritta come:
a = d2 O ′
dt 2 + ˙ω ×(P −O′ )+ω ×[ω ×(P −O ′ )]
= d2 O ′
dt 2 + ˙ω ×(P −O′ )−ω 2 (P −Q)
dove Q è la proiezione di P sull’asse di rotazione. In questa espressione i primi due addendi del
secondo membro costituiscono il contributo della variabilità dei vettori caratteristici, mentre
il terzo addendo dipende, esclusivamente, dal moto elicoidale tangente e, perciò, coincide con
l’accelerazione che si avrebbe nel caso di una rotazione uniforme intorno all’asse istantaneo
di rotazione.