Note del corso di Fisica Matematica A

28 2 Cinematica
dato, come emerge anche dalle (2.36). Si può infine osservare che ω non dipende nemmeno dalla
terna (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) solidale; infatti, dovendo la (2.37) sussistere anche per ω ⋆ , riferito ad una nuova
terna (anch’essa solidale rispetto ad S), allora segue che
(P −O)×(ω −ω ⋆ ) = 0
per ogni P e quindi ω = ω⋆ .
Un altro modo per derivare il vettore ω è il seguente: riscriviamo la (2.35) nel seguente modo:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜
x(t) = c(t)+A(t)y dove x = ⎝
x1
⎟
x2
x3
⎜
⎠, c = ⎝
O ′ x
O ′ y
O ′ ⎟
z
⎜
⎠, y = ⎝
y1
⎟
y2
y3
⎠ (2.38)
rappresentano, rispettivamente, le coordinate di P e O ′ rispetto al sistema centrato in O e fisso e le
coordinate di P rispetto ad un sistema di riferimento centrato in O ′ e solidale con il corpo rigido. La
matrice A è la matrice che permette di passare da un sistema di riferimento all’altro, quindi A è una
matrice ortogonale: A −1 = A T . Derivando la (2.38) e sostituendo ad y la relazione y = A −1 (x−c),
si trova
˙x(t) = ˙c(t)+ ˙
A(t)y = ˙c(t)+ ˙
A(t)A T [x(t)−c(t)] = ˙c(t)+J(t)[x(t)−c(t)]
dove abbiamo posto J = ˙ AAT . Osserviamo che J è una matrice antisimmetrica; infatti derivando la
identità AAT = I si ha che J = −JT e quindi possiamo scrivere
J = ˙ AA T ⎛ ⎞
0 −ω3 ω2
⎜ ⎟
= ⎝ω3
0 −ω1⎠.
−ω2 ω1 0
Ponendo ω = ω1î+ω2ˆj+ω3 ˆ k allora la relazione ˙x = ˙c+J(x−c) equivale alla v(P) = v(O ′ )+ω ×
(P −O ′ ).
La (2.37) diventa v(P) = v(O ′ ) + ω × (P − O ′ ); quindi la distribuzione delle velocità nei
vari punti di S all’istante t fissato è la stessa che si avrebbe se il sistema fosse animato
da un moto rototraslatorio uniforme, cioé elicoidale, in cui la velocità del generico punto P
è decomponibile in senso improprio nel moto traslatorio di velocità v(O ′ ) e nel moto rotatorio di
velocità angolare ω, intorno all’asse per O ′ nella direzione di ω, trasportato parallelamente a se stesso
con velocità traslatoria v(O ′ ). Se poi diciamo atto di moto la distribuzione istantanea delle velocità
allora ogni atto di moto rigido è elicoidale e l’asse del moto elicoidale tangente si dice asse di
Mozzi, avente coordinate (x ′ ,y ′ ,z ′ ) determinate dalla condizione ωv(O ′ ). Nel caso particolare in
cui ω = 0 si ha un atto di moto traslatorio, quando invece v(O ′ ) ⊥ ω si ha un atto di moto rotatorio
e la direzione definita da (O ′ ,ω) si dice asse istantaneo di rotazione.
Più precisamente, si ha che:
Teorema 2.16 (Teorema di Mozzi). Siano ω e v(O ′ ) i vettori caratteristici, sia I = v(O ′ ) · ω
l’invariante. Allora segue che:
- se I = 0 allora lo stato cinetico è elicoidale e l’asse di moto, detto asse di Mozzi, ha punti che
si muovono con velocità I
ω2ω; - se I = 0 allora: