Note del corso di Fisica Matematica A
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2.2.5 Moti rigi<strong>di</strong> generali ed atti <strong>di</strong> moto<br />
2.2 Cinematica dei sistemi rigi<strong>di</strong> 27<br />
Consideriamo un sistema rigido S; siano î ′ ,ˆj ′ , ˆ k ′<br />
(O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) solidale con S. Quin<strong>di</strong> il moto <strong>di</strong> un punto P <strong>del</strong> sistema S è descritto come:<br />
P = O ′ +x ′ î ′ +y ′ ˆj ′ +z ′ˆ k ′<br />
, x ′ ,y ′ ,z ′<br />
i tre versori fondamentali <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> riferimento<br />
costanti . (2.35)<br />
Teorema 2.15 (Teorema <strong>di</strong> Poisson). Sianodati due sistemi<strong>di</strong> riferimento(O;x,y,z) e (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ )<br />
in moto l’uno rispetto all’altro. Si <strong>di</strong>mostra che esiste un unico vettore ω tale che valgano le seguenti<br />
(dette formule <strong>di</strong> Poisson):<br />
dî ′<br />
dt = ω ×î′ , dˆj′<br />
dt = ω ׈j′ , dˆ k ′<br />
dt = ω ׈ k ′<br />
, (2.36)<br />
dove la derivata viene effettuata rispetto all’osservatore (O;x,y,z).<br />
Dimostrazione. È sufficiente porre ω = pî′ + qˆj ′ + rˆ k ′<br />
dove le componenti p,q,r <strong>di</strong> ω rispetto al<br />
riferimento solidale sono scelte come<br />
Infatti<br />
p(t) = dˆj′<br />
dt ·ˆ k ′<br />
= − dˆ k ′<br />
dt ·ˆj′ , q(t) = dˆ k ′<br />
dt ·î′ = − dî′<br />
dt ·ˆ k ′<br />
, r(t) = dî′<br />
dt ·ˆj′ = − dˆj′<br />
dt ·î′ .<br />
dî ′<br />
dt =<br />
<br />
′<br />
dî<br />
dt ·î′<br />
<br />
î ′ <br />
′<br />
dî<br />
+<br />
dt ·ˆj′<br />
<br />
ˆj ′ <br />
′<br />
dî<br />
+<br />
dt ·ˆ k ′<br />
<br />
ˆk ′<br />
= rˆj ′ −qˆ k ′<br />
= ω ×î ′<br />
come si può verificare in modo imme<strong>di</strong>ato. In modo analogo si ha la vali<strong>di</strong>tà <strong>del</strong>le altre due formule<br />
<strong>di</strong> Eulero. Abbiamo così provato l’esistenza <strong>di</strong> un tale vettore. Per provarne l’unicità supponiamo<br />
che esista un altro vettore ω ⋆ sod<strong>di</strong>sfacente alla (2.36); quin<strong>di</strong>, sottraendo membro a membro segue<br />
da cui ω = ω ⋆ .<br />
(ω −ω ⋆ )×î ′ = (ω −ω ⋆ )׈j ′ = (ω −ω ⋆ )× ˆ k ′<br />
Derivando rispetto al tempo t l’equazione geometrica (2.35) e tenendo conto <strong>del</strong>le formule <strong>del</strong><br />
Poisson otteniamo:<br />
dP<br />
dt<br />
= 0<br />
= dO′<br />
dt +ω ×(P −O′ ), ∀P ∈ S (2.37)<br />
dove O ′ può essere un punto qualsiasi <strong>del</strong> sistema. L’espressione (2.37) è caratteristica per<br />
la velocità dei punti <strong>di</strong> un corpo rigido ed è detta formula fondamentale <strong>del</strong>la cinematica<br />
rigida. Così, rispetto alla solita terna fissa, un moto rigido risulta determinato (a meno <strong>di</strong> opportune<br />
con<strong>di</strong>zioni iniziali) quando, prescelto nel sistema mobile un punto O ′ qualsiasi, si prefissino i vettori<br />
(<strong>di</strong>pendenti dal tempo) v0 = v(O ′ ) e ω. Questi due vettori si <strong>di</strong>cono vettori caratteristici <strong>del</strong><br />
moto rigido rispetto al polo o centro <strong>di</strong> riduzione O ′ .<br />
Se cambiamo l’origine O ′ nella (2.37) e pren<strong>di</strong>amo O ′′ = O ′ allora la (2.37) si mo<strong>di</strong>fica nel seguente<br />
senso: v(P) = dO′′<br />
dt +ω′′ ×(P −O ′′ ) dove ω ′′ = ω, poiché il vettore ω, in quanto fornisce, istante per<br />
istante, la velocità angolare <strong>del</strong> moto elicoidale tangente, ha carattere intrinseco al moto rigido