Note del corso di Fisica Matematica A

2.2.5 Moti rigidi generali ed atti di moto
2.2 Cinematica dei sistemi rigidi 27
Consideriamo un sistema rigido S; siano î ′ ,ˆj ′ , ˆ k ′
(O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) solidale con S. Quindi il moto di un punto P del sistema S è descritto come:
P = O ′ +x ′ î ′ +y ′ ˆj ′ +z ′ˆ k ′
, x ′ ,y ′ ,z ′
i tre versori fondamentali di un sistema di riferimento
costanti . (2.35)
Teorema 2.15 (Teorema di Poisson). Sianodati due sistemidi riferimento(O;x,y,z) e (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ )
in moto l’uno rispetto all’altro. Si dimostra che esiste un unico vettore ω tale che valgano le seguenti
(dette formule di Poisson):
dî ′
dt = ω ×î′ , dˆj′
dt = ω ׈j′ , dˆ k ′
dt = ω ׈ k ′
, (2.36)
dove la derivata viene effettuata rispetto all’osservatore (O;x,y,z).
Dimostrazione. È sufficiente porre ω = pî′ + qˆj ′ + rˆ k ′
dove le componenti p,q,r di ω rispetto al
riferimento solidale sono scelte come
Infatti
p(t) = dˆj′
dt ·ˆ k ′
= − dˆ k ′
dt ·ˆj′ , q(t) = dˆ k ′
dt ·î′ = − dî′
dt ·ˆ k ′
, r(t) = dî′
dt ·ˆj′ = − dˆj′
dt ·î′ .
dî ′
dt =
′
dî
dt ·î′
î ′
′
dî
+
dt ·ˆj′
ˆj ′
′
dî
+
dt ·ˆ k ′
ˆk ′
= rˆj ′ −qˆ k ′
= ω ×î ′
come si può verificare in modo immediato. In modo analogo si ha la validità delle altre due formule
di Eulero. Abbiamo così provato l’esistenza di un tale vettore. Per provarne l’unicità supponiamo
che esista un altro vettore ω ⋆ soddisfacente alla (2.36); quindi, sottraendo membro a membro segue
da cui ω = ω ⋆ .
(ω −ω ⋆ )×î ′ = (ω −ω ⋆ )׈j ′ = (ω −ω ⋆ )× ˆ k ′
Derivando rispetto al tempo t l’equazione geometrica (2.35) e tenendo conto delle formule del
Poisson otteniamo:
dP
dt
= 0
= dO′
dt +ω ×(P −O′ ), ∀P ∈ S (2.37)
dove O ′ può essere un punto qualsiasi del sistema. L’espressione (2.37) è caratteristica per
la velocità dei punti di un corpo rigido ed è detta formula fondamentale della cinematica
rigida. Così, rispetto alla solita terna fissa, un moto rigido risulta determinato (a meno di opportune
condizioni iniziali) quando, prescelto nel sistema mobile un punto O ′ qualsiasi, si prefissino i vettori
(dipendenti dal tempo) v0 = v(O ′ ) e ω. Questi due vettori si dicono vettori caratteristici del
moto rigido rispetto al polo o centro di riduzione O ′ .
Se cambiamo l’origine O ′ nella (2.37) e prendiamo O ′′ = O ′ allora la (2.37) si modifica nel seguente
senso: v(P) = dO′′
dt +ω′′ ×(P −O ′′ ) dove ω ′′ = ω, poiché il vettore ω, in quanto fornisce, istante per
istante, la velocità angolare del moto elicoidale tangente, ha carattere intrinseco al moto rigido