Note del corso di Fisica Matematica A

26 2 Cinematica
varia da punto a punto proporzionalmente alla distanza dell’asse) e il moto rigido si dice rotatorio
uniforme. La(2.31)siottieneanchepersemplicederivazionedella(2.29)ricordandocheω e(P−Q)
sono ortogonali e che
ω ×[ω ×(P −O)] = −ω 2 (P −Q).
Le equazioni del moto si possono infine scrivere come:
x = x ′ cosθ −y ′ sinθ, y = x ′ sinθ +y ′ cosθ, z = z ′
dove si è scelto come O = O ′ un punto qualsiasi dell’asse individuato da ω; z = z ′ =asse di rotazione
(quindi ˆ k = ˆ k ′
e ω = ˙ θˆ k). Inoltre gli assi x e x ′ sono scelti come due semi-rette ortogonali a z = z ′ ,
che giacciono rispettivamente nei due semi-piani p e π che definiscono l’anomalia θ.
2.2.4 Moti rototraslatori
Definizione 2.14. Si dice rototraslatorio ogni moto rigido composto da un moto traslatorio e di
un moto rotatorio.
Se il moto traslatorio è identificato da un vettore v◦ e se il moto traslatorio è identificato da
un vettore velocità angolare ω e se O è un punto del suo asse di rotazione, allora la velocità di un
generico punto P appartenente al sistema S è data da
v(P) = v◦ +ω ×(P −O). (2.32)
Osserviamo che il nuovo moto è ancora rigido, infatti dati due punti generici P1 e P2 di velocità
v(P1) = v◦ +ω ×(P1 −O), v(P2) = v◦ +ω ×(P2 −O)
da cui segue che v(P2)−v(P1) = ω ×(P2 −P1) e infine [v(P2)−v(P1)]·(P2 −P1) = 0.
Nel caso di ω e v◦ costanti allora il moto si dirà rototraslatorio uniforme.
La (2.32) può essere espressa nella forma
dove
v(P) = v(O ′ )+ω ×(P −O ′ ) (2.33)
v(O ′ ) = v◦ +ω ×(O ′ −O),
O ′ è un punto solidale con il sistema rigido anche se non appartiene all’asse definito da ω. Quindi,
in base alla (2.33), il dato moto rototraslatorio risulta decomposto in un moto traslatorio di velocità
v(O ′ ) e in un moto rotatorio di velocità angolare ω intorno ad un asse trasportato (parallelamente
a se stesso) da questo moto traslatorio di velocità v(O ′ ).
Per ogni moto rototraslatorio uniforme esiste una decomposizione propria, cioé del tipo
(2.32) con O sull’asse, in cui la velocità angolare del componente rotatorio risulta parallela alla
velocità del componente traslatorio:
ω ×v◦
v(P) = v◦ +ω ×(P −Ω); dove Ω = O+
ω2 ; (2.34)
v◦ = componente di v◦ parallela ad ω. Il moto definito dalla (2.34) viene chiamato elicoidale
e (ω,Ω) viene chiamato asse del moto (con ovvio significato della notazione). In particolare:
componendo con un moto rotatorio uniforme un moto traslatorio uniforme di direzione ortogonale
all’asse di quello (cioé v◦ = 0), si ottiene un moto rotatorio uniforme avente la stessa velocità
angolare, intorno ad un asse parallelo al primitivo.