Note del corso di Fisica Matematica A

2.2.3 Moti rotatori
2.2 Cinematica dei sistemi rigidi 25
Definizione 2.13. Un moto rigido si dice rotatorio quando rimangono fissi tutti i punti di una
retta detta asse di rotazione.
Per realizzare un tale moto basta fissare due punti
dell’asse. Preso nel sistema mobile S, fuori dall’asse di rotazione
(che, con una opportuna scelta del sistema di riferimento,
coinciderà con l’asse (O;z)), un punto P, la perpendicolare
PQ abbassata sull’asse si manterrà di lunghezza
costante e ortogonale all’asse; cioé ogni punto di S,
fuori dell’asse, si muoverà sulla circonferenza del piano ortogonale
a z, che ha il centro Q sull’asse stesso.
La posizione del sistema stesso S, rotante intorno a z,
risulta individuata, istante per istante, dalla posizione di
un solo suo punto P esterno all’asse di rotazione (sulla
rispettiva traiettoria circolare) o, equivalentemente, dalla
posizione di un semi-piano p uscente dall’asse e solidale
con S. La posizione si potrà individuare assegnando, ad
ogni istante, l’anomalia θ = πp di p rispetto ad un determinato
semipiano π uscente da z e fisso.
Un moto rotatorio è caratterizzato dal fatto che ad ogni
istante tutti i punti di un sistema rigido animato di moto
k
ω
.
Fig. 2.7. Moto di un corpo rigido con asse fisso
ω = ˙ θ ˆ k denota il vettore velocitá angolare, dove ˆ k
é il versore che denota la direzione dell’asse fisso.
Un generico punto P del corpo rigido si muove di
moto circolare attorno al punto Q, proiezione di
P sull’asse fisso.
rotatorio hanno la medesima velocità angolare ˙ θ. Sia (O;z) l’asse fisso e ˆ k il corrispondente
versore, definiamo il vettore ω = ˙ θ ˆ k, detto velocità angolare (vettoriale) del moto rotatorio, quel
vettore avente, ad ogni istante, modulo | ˙ θ(t)|, la direzione dell’asse di rotazione e il verso rispetto a
cui il moto appare destro. È immediato verificare che in un moto rotatorio, di velocità angolare ω,
la velocità v del punto P è data da:
v(t) = ω ×(P −O) (2.29)
dove O è un punto fisso dell’asse di rotazione. In particolare vale anche il viceversa; quindi: i moti
rotatori attorno all’asse passante per O e parallelo a ω sono tutti e soli i moti nei quali
la velocità dei punti P è data dalla (2.29) dove ω ha direzione costante.
L’accelerazione a del punto P si decompone nelle componenti tangenziale at e normale an. La
seconda qui coincide con la accelerazione radiale centripeta aρ. Tenendo conto che ˙s = ρ ˙ θ e che
ρ = r rimane costante nel moto rotatorio, segue che: aρ = ρ ˙ θ 2 e ¨s = ρ ¨ θ. In particolare, essendo
si ha
ˆt = v
˙s = ˙ θ ˆ k×(P −O)
˙θρ
= 1
ρ ˆ k×(P −O) e ˆn = − 1
(P −Q), (2.30)
ρ
a = at ˆt+aρˆn = − ˙ θ 2 (P −Q)+ ¨ θ ˆ k×(P −O) = −ω 2 (P −Q)+ ˙ω ×(P −O), (2.31)
dove Q è la proiezione di P sull’asse di rotazione. Si noti che se la velocità angolare è costante
(˙ω = 0) allora ciascun punto P del sistema si muove di moto circolare uniforme (con velocità che
θ