Note del corso di Fisica Matematica A

24 2 Cinematica
(O;x,y,z). A quest’ultimo scopo basta che siano assegnati, in funzione del tempo, l’origine O ′ e
i tre versori fondamentali î ′ ,ˆj ′ , ˆ k ′
della terna solidale. In queste condizioni l’equazione del moto del
generico punto P di S è fornita dalle
P = O ′ +x ′ î ′ +y ′ ˆj ′ +z ′ˆ k ′
(2.27)
dove O ′ , î ′ ,ˆj ′ e ˆ k ′
si intendono definiti in funzione di t con riferimento agli assi fissi e le x ′ , y ′ , z ′ si
intendono costanti.
La (2.27), proiettata sul sistema fisso, dà:
⎧
⎪⎨ x = α+α1x
⎪⎩
′ +α2y ′ +α3z ′
y = β +β1x ′ +β2y ′ +β3z ′
z = γ +γ1x ′ +γ2y ′ +γ3z ′
(2.28)
dove O ′ ha componenti (α, β, γ) e (αi, βi, γi), i = 1,2,3,
sono, rispettivamente, i coseni direttori di î ′ ,ˆj ′ , ˆ k ′
, cioè:
⎧
⎪⎨ î
⎪⎩
′ = α1î+β1ˆj+γ1 ˆ k
ˆj ′ = α2î+β2ˆj+γ2 ˆ k
ˆk ′
= α3î+β3ˆj+γ3 ˆ α1 = î
, dove
k
′ ·î, β1 = î ′ ·ˆj, γ1 = î ′ · ˆ k
α2 =ˆj ′ ·î, β2 =ˆj ′ ·ˆj, γ2 =ˆj ′ · ˆ k
α3 = ˆ k ′
·î, β3 = ˆ k ′
·ˆj, γ3 = ˆ k ′
· ˆ k
Osserviamo che nelle (2.28) compaiono 12 funzioni del
tempo, cioé le α, β, γ e i 9 coseni direttori (αi, βi, γi);
i quali sono legati tra loro dalle 6 note relazioni in quanto
ortonormali:
e
α 2 i +β 2 i +γ 2 i = 1, i = 1,2,3
αiαj +βiβj +γiγj = 0,i,j = 1,2,3, i = j.
Fig. 2.6. Moto del sistema di riferimento
(O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ), solidale con il corpo rigido S,
rispetto al sistema di riferimento (O;x,y,z).
Possiamo quindi concludere che per la descrizione del moto del corpo rigido S sono necessari, e
sufficienti, 6 parametri indipendenti.
2.2.2 Moti traslatori
Definizione 2.12. Un moto rigido si dice traslatorio quando ogni vettore P2−P1, determinato da
due punti in moto quali si vogliano, si mantiene costante, non solo in lunghezza, come ogni altro
moto rigido, ma anche in direzione e verso.
In particolare i tre versori î ′ ,ˆj ′ , ˆ k ′
del riferimento solidale sono costanti durante il moto (sia in
verso che in direzione, oltre, come è ovvio, in lunghezza). Con una scelta particolare degli assi si ha
che le (2.28) diventano: x = x ′ +α(t), y = y ′ +β(t), z = z ′ +γ(t). Risulta dunque che in un moto
traslatorio le traiettorie dei singoli punti sono uguali, sovrapponibili e percorse con la
medesima legge.
Un moto traslatorio è caratterizzato dal fatto che tutti i punti del sistema, istante per istante,
hanno velocità uguali ˙
P2 = ˙
P1 (e quindi anche accelerazioni uguali). Quindi ogni moto traslatorio
è caratterizzato da un certo vettore, funzione esclusiva del tempo, che istante per istante, dà la
velocità comune, in quell’istante, a tutti i punti del sistema mobile. Questo vettore dicesi velocità
del moto traslatorio ed identifica, in modo univoco, il moto traslatorio.