Note del corso di Fisica Matematica A

2.2 Cinematica dei sistemi rigidi 23
ii. assumendo che sia x(t) = cos(ωt) e y(t) = sin(Ωt) graficare P(t) per diversi valori di ω e Ω;
iii.semprenelle condizioniin ii. assumereω = 1eΩ = π/3.1415, graficareP(t) perintervalli crescenti
di t e osservare che la traiettoria di P riempie progressivamente il quadrato [−1,+1]×[−1,+1];
iv.sempre nelle condizioni in ii. dimostrare che quando ω e Ω non sono commensurabili tra loro allora
la traiettoria di P riempie densamente il quadrato [−1,+1]×[−1,+1].
2.2 Cinematica dei sistemi rigidi
Lo studio di sistemi materiali, costituiti da N punti materiali distinti, può essere effettuato, almeno
in linea di principio, con gli strumenti sviluppati nella sezione precedente. Di fatto questo procedura
è inefficace quando il numero N di particelle è grande, come ad esempio il numero di molecole in
un fluido o in un gas liberamente mobili.
È quindi opportuno introdurre un modello descrittivo
del sistema fisico che, in alcuni casi, permetta di studiare il moto del sistema senza descrivere necessariamente
il moto di ogni particella costituente il sistema. A tal fine noi facciamo la seguente
ipotesi di lavoro che, in alcuni contesti, trova giustificazione: noi assumiamo che i sistemi materiali
siano costituiti da uno o più corpi rigidi, non deformabili qualunque sia il loro moto e comunque
siano sollecitati. Con questa modellizzazione non è ovviamente possibile studiare la dinamica dei
fluidi e dei gas (termodinamica e fluidodinamica) e nemmeno le deformazioni dei solidi (teoria della
elasticità).
2.2.1 Sistemi rigidi
Definizione 2.11. Diremo sistema rigido una figura S che, durante il moto, conservi inalterate le
mutue distanze dei suoi punti. Cioé se P1 e P2 sono due punti qualsiasi di tale sistema S deve essere
che
durante il moto.
Osserviamo che la condizione (2.26) equivale alla identità
P1P2 = r = Costante (2.26)
(P2 −P1)·(P2 −P1) = r 2
dove r è indipendente dal tempo. Derivando ambo i membri si trova la condizione equivalente di
rigidità di un sistema:
(P2 −P1)· d(P2 −P1)
dt
= 0, ∀P1,P2 ∈ S
cioè si ha la seguente definizione equivalente. I moti rigidi di un sistema di punti sono caratterizzati
dalla circostanza che ad ogni istante la velocità di due punti quali si vogliano del sistema
hanno la stessa componente secondo la congiungente dei due punti.
Ai fini dello studio del moto di un sistema rigido è utile fare la seguente osservazione di evidenza
immediata. Dato un sistema rigido S, un sistema di riferimento fisso (O;x,y,z) ed un sistema
di riferimento solidale (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) con il sistema S (solidale=le coordinate dei punti di S sono
costanti). Il moto di S è noto se è nota l’evoluzione temporale di (O ′ ,x ′ ,y ′ ,z ′ ) rispetto a