Note del corso di Fisica Matematica A

20 2 Cinematica
e, in virtù della (2.24), segue che
Derivando ulteriormente si ottiene che:
˙ρ = c
ρ2 dρ
dθ
¨ρ = −c dθ
dt
che, sostituite nella prima delle (2.17), dà
aρ = − c2
ρ 2
che è nota sotto il nome di formula di Binet.
2.1.6 Esercizi
˙ρ = dρ
dθ ˙ θ
= −cd1/ρ
dθ .
d21/ρ = −c2
dθ2 ρ2 d21/ρ dθ2
1 d2
+
ρ dθ2
1
ρ
Esercizio 2.1: Studiare il moto del punto P che si muove con legge oraria
s(t) = t 3 −2t 2 +t, t ≥ 0
(2.25)
su una traiettoria γ nota ed assegnata. In particolare si chiede di determinare per quali valori di t
si ha un istante di arresto, quando il moto è diretto o retrogrado e quando il moto è accelerato o
ritardato.
Esercizio 2.2: Due punti P1 e P2 si muovono su una stessa retta AB orientata da B verso A e
con origine in B. P1 è all’istante iniziale t = 0 fermo in B e si muove verso A con legge oraria
s1(t) = 1
2 a1t 2 , a1 > 0.
P2, per t = 0, passa in A con velocità v0 diretta verso B ed ha legge oraria
s2(t) = 1
2 a2t 2 −v0t+ℓ, a2 > 0 e ℓ = |AB|.
Studiare il moto di entrambi i punti e determinare come e quando i due punti si incontrano.
Esercizio 2.3: Studiare il moto dell’estremo B di una biella lunga ℓ (vincolato a muoversi lungo
l’asse x) nota la legge θ = θ(t) con cui si muove la manovella di lunghezza r < ℓ determinare, in
particolare, la velocità e l’accelerazione nel caso generale e poi nel caso particolare θ(t) = ωt con ω
costante.
Esercizio 2.4: Un’asta AC lunga d può ruotare nel piano (O;x,y) attorno al punto C di coordinate
(0,−h) con legge data θ = θ(t) e h > d. Dall’estremo A parte un filo (flessibile e inestendibile)
che, dopo essere passato per la carrucola posta in O, porta appeso all’altro estremo un punto P (che,
per effetto del peso, tiene sempre il filo in tensione). Sapendo che il filo è lungo ℓ ≥ d+h, studiare il