Note del corso di Fisica Matematica A

2.1 Cinematica del punto 19
e la sua intensità vale v = r| ˙ θ|; come si poteva prevedere dalla (2.13) essendo vρ = ˙ρ = 0. Affinché il
motocircolaresiauniforme(cioé ˙s(t) = r ˙ θ = Cost)occorre,ebasta,che ˙ θ siacostante;seindicheremo
ω = ˙ θ allora dovremmo avere θ(t) = ωt+θ0, dove θ0 è l’anomalia di P nell’istante t = 0. In questo
caso l’accelerazione diventa
a = ¨xî+ ¨yˆj = −ω 2 (P −O) = ω 2 (O−P).
Si noti che l’accelerazione è sempre diretta dal punto P verso il centro del cerchio in quanto, trattandosi
di un moto uniforme, l’accelerazione deve risultare tutta centripeta.
Definizione 2.9. Definiamo armonico il moto del tipo
dove r è l’ampiezza, ω la frequenza e θ0 la fase iniziale.
x(t) = rcos(ωt+θ0) (2.21)
Il moto armonico ha accelerazione che soddisfa alla seguente equazione differenziale: ¨x = −ω 2 x.
I parametri r e θ0 sono determinati in base alle condizioni iniziali.
Moti centrali, moti Kepleriani e formula di Binet
Definizione 2.10. Il moto di un punto P si dice centrale se la linea di azione dell’accelerazione a
passa sempre per un punto O fisso, detto centro del moto. Si ha la seguente condizione vettoriale
caratteristica dei moti centrali:
cioé si annulla il momento dell’accelerazione rispetto ad O.
(P −O)×a = 0; (2.22)
Dalla (2.22) segue che la velocità areolare di ogni moto centrale rispetto al centro O è un vettore
(P −O)×v e
costante. Infatti: V = 1
2
d dP
{(P −O)×v} =
dt dt
×v+(P −O)×a = (P −O)×a. (2.23)
Quindi: il moto è centrale se, e solo se, (P −O)×v = c, c denota un vettore costante. Da quanto
scritto in precedenza segue che ogni moto centrale è un moto piano. In particolare, scegliendo
il sistema di riferimento in modo che il moto avvenga nel piano (O;x,y), cioé z = ˙z = ¨z = 0, allora
(P −O)×v ha due componenti nulle, mentre la terza vale x˙y − ˙xy = c costante.
Dalle (2.17) segue che i moti centrali, caratterizzati da aθ = 0, devono soddisfare alla seguente
equazione differenziale:
2˙ρ ˙ θ+ρ ¨ θ = 0 o ρ 2˙ θ = c. (2.24)
In particolare si può dare alla accelerazione radiale aρ una espressione puramente geometrica,
cioé indipendente dalle derivate di ρ e θ rispetto a t, e fare intervenire soltanto l’equazione
polare ρ = ρ(θ) della traiettoria. Infatti, se c = 0 allora deve necessariamente essere ˙ θ = 0 da cui
si può, per il teorema della funzione inversa, ricavare t = t(θ) e quindi ρ = ρ(θ) = ρ[t(θ)]. Ora,
pensando ρ = ρ(θ) si ottiene che