Note del corso di Fisica Matematica A

18 2 Cinematica
date da
a = aρˆr+aθ ˆ h
aρ = ¨ρ−ρ ˙ θ 2 , aθ = 2˙ρ ˙ θ+ρ ¨ θ = 1 d
ρdt
(ρ2˙ θ). (2.17)
Esse si ottengono derivando la già nota relazione v = vρˆr + vθ ˆ h e osservando che dˆ h
dθ = −ˆr. In
particolare, si osserva che aθ = 2
ρ Ä dove ˙ A è la velocità areolare.
2.1.5 Esempi di moti
Consideriamo i seguenti esempi.
Moto dei gravi
Per grave intendiamo un corpo puntiforme pesante libero di muoversi nello spazio e soggetto alla
sola forza peso. Per studiarne il moto scegliamo, per riferimento, una terna il cui asse delle (O;y)
sia verticale ed orientato verso l’alto, in modo che il piano (O;x,y) risulti verticale. Avremo, come
componenti della accelerazione di gravità g : (0,−g,0). Dalla Fisica è ben noto che (ritorneremo in
seguito su questo punto) che a = g e quindi le coordinate del punto P dovranno soddisfare durante
tutto il moto alle equazioni ¨x = 0,¨y = −g,¨z = 0; che, integrate, danno:
x(t) = x0 + ˙x0t, y(t) = − 1
2 gt2 + ˙y0t+y0, z(t) = ˙z0t+z0
(2.18)
dove v0 = ˙x0î+ ˙y0ˆj+ ˙z0 ˆ k è la velocità all’istante iniziale e P0 = (x0,y0,z0) è la posizione del punto
all’istante iniziale. Si può, senza perdere in generalità, collocare l’origine O del sistema in P0 e
ruotare la terna d’assi intorno a y in modo che sia ˙z0 = 0 e ˙x0 ≥ 0. Le (2.18) diventano:
x = ˙x0t, y = ˙y0t− 1
2 gt2 , z = 0, con ˙x0 ≥ 0. (2.19)
Quindi risulta che il moto è piano e nelle equazioni del moto si può trascurare la componente z.
Dalle (2.19) si ricava che:
v 2 = v 2 0 −2g˙y0t+g 2 t 2
e v 2 −v 2 0 = −2gy; (2.20)
quindi: sono fra loro proporzionali l’incremento del quadrato della velocità e la quota del
punto mobile rispetto alla posizione iniziale.
Moti oscillatori
Se il punto P(t) si muove lungo la circonferenza x 2 +y 2 = r 2 le equazioni del moto sono x = rcosθ
e y = rsinθ dove θ(t) è l’anomalia del vettore P − O rispetto all’asse orientato x. La velocità ha
componenti
˙x = −r ˙ θsinθ e ˙y = r ˙ θcosθ