Note del corso di Fisica Matematica A

2.1 Cinematica del punto 17
Dimostrazione. All’istante t il punto P ha coordinate polari θ(t) e ρ(t); all’istante t+∆t le coordinate
sono θ(t+∆t) e ρ(t+∆t). Chiameremo ∆θ = θ(t+∆t)−θ(t) e
e
ρmax = max
τ∈[0,∆t] ρ(t+τ), ρmin = min
τ∈[0,∆t] ρ(t+τ)
∆maxθ = max
τ∈[0,∆t] [θ(t+τ)−θ(t)].
Sia ∆A = A(t+∆t)−A(t), allora questa può essere calcolata come
∆A = 1
2 ρ2 ∆θ+R (2.15)
dove 1
2 ρ2 ∆θ rappresenta l’area di un settore circolare di raggio ρ e angolo ∆θ. R rappresenta il resto
che può essere stimato come
|R| ≤ 1
(ρmax)
2
2 −(ρmin) 2
∆maxθ.
Osservando che |R| = O(∆ 2 t), dividendo ambo i membri della (2.15) per ∆t e passando al limite
∆t → 0 segue il Teorema.
Sia (O;x,y,z) una terna ortogonale destra tale che il moto avvenga nel piano (O;x,y); consideriamo
il vettore
V = 1 1 1
(P −O)×v = v×(O−P) =
2 2 2 det
⎛
î ˆj
⎜
⎝
ˆ ⎞
k
⎟
x y 0⎠
˙x ˙y 0
= 1
2 (x˙y − ˙xy)ˆ k = ˙ Aˆ k
dato dalla metà del momento della velocità vettoriale del punto mobile rispetto al centro
O (fisso). Si ha che la componente di V rispetto all’asse z coincide con la velocità areolare (2.14) e
individua, come perpendicolare al piano della traiettoria, il piano in cui avviene il moto.
Definizione 2.8. Definiamo
V = 1
(P −O)×v (2.16)
2
come velocità areolare vettoriale del punto dato mobile, rispetto al centro O (fisso).
Questa nuova definizione ha il vantaggio di attribuire alla velocità areolare un significato intrinseco
e, perciò, indipendente dalla scelta della terna di riferimento. Scalarmente la (2.16) ha
componenti: 1
2 (y˙z − ˙yz), 1
2 (˙xz − x˙z), 1(x˙y
− ˙xy); nelle quali si riconoscono le velocità areolari,
2
rispetto ad O, in senso scalare, delle proiezioni ortogonali del punto P, rispettivamente sui piani
(O;y,z), (O;x,z) e (O;x,y).
Determiniamo ora l’accelerazione radiale e trasversa in un moto piano (qualsiasi) denotate,
rispettivamente, con aρ e aθ: