Note del corso di Fisica Matematica A

16 2 Cinematica
θ
ρ
.
ρ
Fig. 2.3. I versori radiale ˆr e trasverso ˆ h definiscono il moto del punto in coordinate polari piane.
Consideriamo il versore
ˆr =
P −O
,
ρ
orientato da O verso P, detto versore radiale, ed il versore ˆ h normale a ˆr, orientato rispetto alla
retta OP come l’asse y rispetto ad x, detto versore trasverso:
ˆr = cosθî+sinθˆj e ˆ h = −sinθî+cosθˆj
Se indichiamo con vρ e vθ le componenti di v rispetto ai due versori allora si prova che:
v = vρˆr+vθ ˆ h,vρ = ˙ρ, vθ = ρ ˙ θ. (2.13)
La vρ si dice velocità radiale e la vθ si dice velocità trasversa; ˙ θ si dice velocità angolare. La
(2.13) si ottiene derivando il vettore
P(t)−O = ρ(t)ˆr[θ(t)]
espresso in coordinate polari e tenendo conto che dˆr
dθ = ˆ h.
Mentre il punto P si muove, il raggio vettore P −O descrive un’area. Supponiamo di misurarla, a
partiredaunraggioinizialeP0−O,positivamentenelsensoincuicresconoleanomalie,negativamente
nel verso opposto. Sia A(t) il valore che assume in un generico istante t.
Teorema 2.7. Si dimostra che:
˙A = 1
2 ρ2˙ 1
θ = (x˙y − ˙xy), (2.14)
2
ed è chiamata velocità areolare (o areale) del punto P rispetto al centro O.