Note del corso di Fisica Matematica A

14 2 Cinematica
a(t) = dv
dt = d2 P
dt 2 = d2 (P −O)
dt 2 = ¨xî+ ¨yˆj+ ¨z ˆ k (2.8)
dove x(t),y(t),z(t) sono le componenti cartesiane del punto P(t) durante il moto definiti rispetto ad
un sistema di riferimento (O;x,y,z).
Dalla natura intrinseca, rispetto al moto, della definizione di accelerazione risulta senz’altro che le
formule (2.8) restano valide comunque si cambino gli assi di riferimento, purché fissi gli uni rispetto
agli altri.
Ricordando che
v = ˙sˆt e dˆt
ds
1
= ˆn,
dove ρc designa il raggio di curvatura della traiettoria ed ˆn il vettore unitario diretto lungo la normale
principale verso il centro di curvatura otteniamo:
dove at = ¨s e an = ˙s2
ρc
a = d2P[s(t)] dt2 = dv
dt
= v2
ρc .
ρc
= d(˙sˆt)
dt = ¨sˆt+ ˙s dˆt
dt = at ˆt+anˆn (2.9)
Introduciamo la terna destra, detta terna intrinseca, (ˆt,ˆn, ˆ b) con origine nel punto P e con
versori ˆt, versore tangente, ˆn, versore normale, e ˆ b =ˆt׈n, versore binormale. Dalla (2.9) segue
che, ad ogni istante, è nulla la componente della accelerazione secondo la binormale alla traiettoria,
cioè l’accelerazione appartiene ad ogni istante al piano osculatore della traiettoria
nella posizione occupata dal punto mobile in quell’istante. Le sue componenti at e an si
dicono, rispettivamente, accelerazione tangenziale e accelerazione normale o centripeta (si
noti che, essendo v2 sempre positivo, allora l’accelerazione centripeta è sempre diretta verso il centro
ρc
di curvatura).
I moti uniformi (˙s = Cost., cioé ¨s = 0) sono caratterizzati dall’annullarsi della accelerazione tangenziale.
I moti rettilinei (ˆt = Cost.) sono caratterizzati dall’annullarsi della accelerazione normale.
I moti rettilinei uniformi sono caratterizzati dall’annullarsi identico della accelerazione.
2.1.3 Classificazione dei moti in base alla velocità ed alla accelerazione
Abbiamo la seguente situazione:
— Classificazione in base alla velocità:
- moto diretto quando ˙s > 0;
- moto retrogrado quando ˙s < 0;
- moto uniforme quando ˙s(t) = v0 costante;
- moto rettilineo quando ˆt =ˆt0 costante;
- moto rettilineo e uniforme quando v = v0 costante;
- moto curvilineo quando ˆt non è costante.
— Classificazione in base alla accelerazione:
- moto accelerato quando ˙s¨s > 0, ovvero d˙s2
dt
- moto ritardato quando ˙s¨s < 0, ovvero d˙s2
dt
> 0 o, equivalentemente, |˙s| crescente;
< 0 o, equivalentemente, |˙s| decrescente;