Note del corso di Fisica Matematica A

12 2 Cinematica
Essa definisce la legge temporale, secondo cui si muove il dato punto sulla traiettoria, detta
equazione oraria del moto. Quindi il moto del punto P è noto quando si conoscono le equazioni
parametriche (2.2) oppure quando si conoscono la traiettoria
P = P(s)
e la equazione oraria (2.3). Si può passare da una rappresentazione all’altra; ad esempio, nota la
traiettoria P = P(s) e la legge oraria s = s(t) si ottiene la rappresentazione parametrica P = P(t) =
P[s(t)].
Definizione 2.1. Il moto di un punto P su una traiettoria data si dice uniforme se l’ascissa curvilinea
s(t) è una funzione lineare del tempo.
2.1.1 Velocità del moto di un punto.
Definizione 2.2. In un generico istante t si dirà velocità (scalare) di un punto mobile, secondo
la equazione oraria s = s(t), la funzione ˙s(t). I moti uniformi
s(t) = v0t+s0
sono caratterizzati dalla costanza della velocità (scalare).
Definizione 2.3. Siano x(t),y(t),z(t) le componenti cartesiane del punto P(t) durante il moto
rispetto ad una terna (O;x,y,z) ortogonale. Il vettore
viene denominato velocità (vettoriale) del punto P all’istante t.
v(t) = ˙x(t)î+ ˙y(t)ˆj+ ˙z(t) ˆ k (2.4)
Il vettore velocità vettoriale del punto P coincide quindi con la derivata del vettore spostamento
P(t)−O:
v(t) = ˙
P(t) = dP
dt
= d(P −O)
dt
Osservando che possiamo sempre scrivere P = P(t) = P[s(t)], dove P(s) rappresenta la traiettoria
del punto e s(t) la legge oraria, allora la precedente derivata si può anche calcolare come
v(t) = dP[s(t)]
dt
= dP(s)
ds
˙s(t) = ˙s(t)ˆt (2.5)
dove ˆt = dP è il versore tangente alla traiettoria orientato concordemente con il verso positivo della
ds
traiettoria ed s è la ascissa curvilinea. Da qui segue che, in ogni istante, v ha modulo dato dal
valore assoluto |˙s(t)| della velocità scalare nel punto, è diretto secondo la tangente alla traiettoria
nella posizione P(t), ed infine ha il verso di ˆt, cioé il verso delle s crescenti, o il contrario, secondo
che ˙s(t) sia positiva o negativa.
Dalla (2.5) segue inoltre che
˙s(t) = ± ˙x 2 (t)+ ˙y 2 (t)+ ˙z 2 t
(t) e s(t) = ˙s(τ)dτ +s0
t0
(2.6)