Note del corso di Fisica Matematica A
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A.1.3 Attrazione <strong>di</strong> una corona sferica omogenea <strong>di</strong> raggi R1 ed R2 (R1 > R2 ≥ 0)<br />
A.1 Cenni sull’attrazione Newtoniana 171<br />
Noi possiamo pensare <strong>di</strong> realizzare la corona me<strong>di</strong>ante corone sferiche comprese tra i raggi ρ e ρ+dρ.<br />
Utilizzando i risultati già trovati per la superficie sferica omogenea segue che nei punti interni alla<br />
cavità l’attrazione è nulla ed il potenziale è costante dentro la cavità e vale<br />
U = 4πf<br />
R1<br />
R2<br />
µsds = 2πfµ(R 2 1 −R 2 2) dove µ =<br />
m<br />
4π(R 3 1 −R 3 2)/3<br />
è la densità <strong>del</strong>la corona sferica.<br />
Nel caso <strong>di</strong> punto potenziato esterno alla corona, ρ > R1, poiché ogni elemento <strong>del</strong>la massa<br />
potenzianteagiscesulpuntocomeselarelativamassafossetuttaraccoltainO,seguecheilpotenziale<br />
avrà ancora l’espressione U = f m dove m sta a designare la massa totale <strong>del</strong>la corona.<br />
ρ<br />
Consideriamo infine un punto potenziato interno alla corona potenziante R2 ≤ ρ ≤ R1. Il<br />
potenziale si può calcolare approfittando <strong>del</strong>la circostanza che per ogni <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> volume, il<br />
potenziale e le sue derivate prime si mantengono ovunque funzioni finite e continue (malgrado<br />
la singolarità <strong>del</strong>la funzione integrando sotto il segno <strong>di</strong> integrale per P interno alla corona). Il<br />
potenziale si può riguardare come somma <strong>di</strong> due contributi, uno dovuto alla corona interna e l’altro<br />
dovuto alla corona esterna:<br />
R1<br />
U = 4πf µsds+<br />
ρ<br />
4πf<br />
ρ<br />
µs<br />
ρ R2<br />
2 <br />
2 R1 ρ2<br />
ds = 4πfµ −<br />
2 6 − R3 <br />
2<br />
3ρ<br />
= 3fm<br />
R3 1 −R3 <br />
2 R1 ρ2<br />
−<br />
2 2 6 − R3 <br />
2<br />
.<br />
3ρ<br />
Le superficie equipotenziali sono sfere concentriche e le linee <strong>di</strong> forza sono i relativi raggi, così<br />
l’attrazione è una forza centrale che ha O per centro <strong>di</strong> forza. La componente ra<strong>di</strong>ale φ <strong>del</strong>la forza<br />
è data da dU<br />
dρ :<br />
φ = dU<br />
dρ =<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
0 0 ≤ ρ ≤ R2<br />
−<br />
⎪⎩<br />
fm<br />
ρ2 ρ3−R3 2<br />
R3 1−R3 R2 ≤ ρ ≤ R1<br />
2<br />
− fm<br />
ρ2 . (A.2)<br />
ρ > R1<br />
Si noti che, anche all’interno <strong>del</strong>la corona potenziante, l’attrazione è sempre <strong>di</strong>retta verso<br />
il centro.<br />
Il caso <strong>del</strong>la attrazione dovuta ad una sfera piena e omogenea rientra nel caso appena stu<strong>di</strong>ato<br />
ove si ponga R2 = 0.