Note del corso di Fisica Matematica A

More documents

Recommendations

Info

170 A Appendice e quindi si osserva che ∆U = ∂2U ∂x2 + ∂2U ∂y2 + ∂2U = 0, ∂z2 cioé U è una funzione armonica. Nel caso di masse potenzianti continue di densità µ e occupanti il volume S avremo che per ogni punto potenziato P, esterno al campo S occupato dalle potenzianti, le componenti dell’attrazione sono ancora date dalle derivate del potenziale U, che ha l’espressione U = f S µ r dS. Tale potenziale, come funzione delle coordinate x,y,z di P, è finito, continuo e derivabile a piacere. In particolare vale la regola di derivazione sotto il segno di integrale: ∂U ∂x Derivando ulteriormente si verifica che: ∆U = f = f S S µ∆ µ ∂1 r ∂x dS. 1 dS = 0. r Notiamo che, a differenza del caso di un numero finito di punti potenzianti, il caso di masse distribuite con continuità ammette, per il potenziale e per le sue derivate, che il punto potenziato P si avvicini al campo o, addiritura, lo penetri. Consideriamo anzitutto il potenziale di una distribuzione di materia a tre dimensioni U = U(x,y,z); se il punto P(x,y,z) va a sovrapporsi, o tende, ad un punto Q(x,y,z) del corpo la funzione integranda diventa infinita, ma poiché il suo ordine di infinito è 1 allora essa si mantiene integrabile e il potenziale U risulta finito e continuo, insieme alla sua derivata prima, non soltanto fuori dalla massa potenziante ma anche sul contorno e all’interno. Nel caso di una distribuzione della materia a due dimensioni allora il potenziale U(x,y,z) è finito e continuo per ogni punto potenziato P. Infine nel caso di distribuzione lineare della materia l’integrale U = f ℓ dℓ diventa infinito sulla linea potenziante ℓ. A.1.2 Attrazione di una superficie sferica σ omogenea µ r L’attrazione complessiva di una superficie sferica omogenea è nulla in tutti i punti P interni alla sfera. Quindi in tutto lo spazio interno a σ (dove l’attrazione è nulla) il potenziale µ U(x,y,z) = f σ r dσ ha un valore costante, dove µ = m |σ| = m 4πR 2 è la densità della superficie sferica; per determinare tale valore basterà calcolarlo per un punto particolare, scelto a piacere, e converrà scegliere il centro della sfera in cui r = R è costante, dove R è il raggio della sfera. Risulta quindi U = f m R . Nel caso di un punto potenziato esterno alla sfera distante ρ > R dal centro O avremo che: U = f m, cioé una superfice sferica omogenea agisce sui punti esterni come se tutta la massa fosse ρ raccolta nel centro.
A.1.3 Attrazione di una corona sferica omogenea di raggi R1 ed R2 (R1 > R2 ≥ 0) A.1 Cenni sull’attrazione Newtoniana 171 Noi possiamo pensare di realizzare la corona mediante corone sferiche comprese tra i raggi ρ e ρ+dρ. Utilizzando i risultati già trovati per la superficie sferica omogenea segue che nei punti interni alla cavità l’attrazione è nulla ed il potenziale è costante dentro la cavità e vale U = 4πf R1 R2 µsds = 2πfµ(R 2 1 −R 2 2) dove µ = m 4π(R 3 1 −R 3 2)/3 è la densità della corona sferica. Nel caso di punto potenziato esterno alla corona, ρ > R1, poiché ogni elemento della massa potenzianteagiscesulpuntocomeselarelativamassafossetuttaraccoltainO,seguecheilpotenziale avrà ancora l’espressione U = f m dove m sta a designare la massa totale della corona. ρ Consideriamo infine un punto potenziato interno alla corona potenziante R2 ≤ ρ ≤ R1. Il potenziale si può calcolare approfittando della circostanza che per ogni distribuzione di volume, il potenziale e le sue derivate prime si mantengono ovunque funzioni finite e continue (malgrado la singolarità della funzione integrando sotto il segno di integrale per P interno alla corona). Il potenziale si può riguardare come somma di due contributi, uno dovuto alla corona interna e l’altro dovuto alla corona esterna: R1 U = 4πf µsds+ ρ 4πf ρ µs ρ R2 2 2 R1 ρ2 ds = 4πfµ − 2 6 − R3 2 3ρ = 3fm R3 1 −R3 2 R1 ρ2 − 2 2 6 − R3 2 . 3ρ Le superficie equipotenziali sono sfere concentriche e le linee di forza sono i relativi raggi, così l’attrazione è una forza centrale che ha O per centro di forza. La componente radiale φ della forza è data da dU dρ : φ = dU dρ = ⎧ ⎪⎨ 0 0 ≤ ρ ≤ R2 − ⎪⎩ fm ρ2 ρ3−R3 2 R3 1−R3 R2 ≤ ρ ≤ R1 2 − fm ρ2 . (A.2) ρ > R1 Si noti che, anche all’interno della corona potenziante, l’attrazione è sempre diretta verso il centro. Il caso della attrazione dovuta ad una sfera piena e omogenea rientra nel caso appena studiato ove si ponga R2 = 0.
Page 1:
Fisica Matematica A 1 Marzo, 2013
Page 4 and 5:
VI Sommario 2.3.4 Esercizi.........
Page 6 and 7:
VIII Sommario 6 Cenni di meccanica
Page 8 and 9:
2 1 Calcolo Vettoriale Definizione
Page 10 and 11:
4 1 Calcolo Vettoriale — anti-com
Page 12 and 13:
6 1 Calcolo Vettoriale P(t)−O = x
Page 14 and 15:
8 1 Calcolo Vettoriale è invertibi
Page 17 and 18:
2 Cinematica Si dice Cinematica que
Page 19 and 20:
. . Fig. 2.1. La velocitá v é se
Page 21 and 22:
n . . t 2.1 Cinematica del pun
Page 23 and 24:
2.1 Cinematica del punto 17 Dimostr
Page 25 and 26:
2.1 Cinematica del punto 19 e la su
Page 27 and 28:
θ Fig. 2.4. Sistema biella-manove
Page 29 and 30:
2.2 Cinematica dei sistemi rigidi 2
Page 31 and 32:
2.2.3 Moti rotatori 2.2 Cinematica
Page 33 and 34:
2.2.5 Moti rigidi generali ed atti
Page 35 and 36:
Page 37 and 38:
Page 39 and 40:
Page 41 and 42:
Il moto assoluto di P è dato dalla
Page 43 and 44:
2.4 Cinematica dei sistemi 37 Duran
Page 45 and 46:
2.4 Cinematica dei sistemi 39 iv.Pe
Page 47 and 48:
2.4 Cinematica dei sistemi 41 Defin
Page 49 and 50:
γ δ . δ σ π 2.4 Cinematica d
Page 51:
2.4 Cinematica dei sistemi 45 Da ci
Page 54 and 55:
48 3 Generalità sui sistemi e gran
Page 56 and 57:
Page 58 and 59:
Page 60 and 61:
Page 62 and 63:
Page 64 and 65:
Page 66 and 67:
Page 68 and 69:
Page 70 and 71:
Page 72 and 73:
Page 74 and 75:
Page 76 and 77:
Page 79 and 80:
4 Statica 4.1 Statica del punto e a
Page 81 and 82:
φ . φ σ 4.1 Statica del punt
Page 83 and 84:
4.2 Equazioni cardinali della stati
Page 85 and 86:
Teorema 4.8. Quando R = 0 e l’inv
Page 87 and 88:
Page 89 and 90:
Page 91 and 92:
Page 93 and 94:
Page 95 and 96:
4.3 Principio dei lavori virtuali e
Page 97 and 98:
δρ = φ1 ·δP1 +φ2 ·δP2 = φ1
Page 99 and 100:
4.3 Principio dei lavori virtuali e
Page 101 and 102:
Quindi, si conclude o equivalenteme
Page 103 and 104:
4.3.5 Esempi Punto P vincolato a mu
Page 105 and 106:
4.4 Nozione di stabilità dell’eq
Page 107 and 108:
4.5 Statica relativa 101 In virtù
Page 109:
4.5 Statica relativa 103 dovuto all
Page 112 and 113:
106 5 Dinamica: equazioni differenz
Page 114 and 115:
Page 116 and 117:
Page 118 and 119:
Page 120 and 121:
Page 122 and 123:
Page 124 and 125:
Page 126 and 127: 120 5 Dinamica: equazioni differenz
Page 140 and 141: 134 6 Cenni di meccanica dei contin
Page 163 and 164: 7 Esercizi tratti da prove d’esam
Page 175: A Appendice A.1 Cenni sull’attraz
show all

Note del corso di Fisica Matematica A

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?