Note del corso di Fisica Matematica A

170 A Appendice
e quindi si osserva che
∆U = ∂2U ∂x2 + ∂2U ∂y2 + ∂2U = 0,
∂z2 cioé U è una funzione armonica.
Nel caso di masse potenzianti continue di densità µ e occupanti il volume S avremo che per ogni
punto potenziato P, esterno al campo S occupato dalle potenzianti, le componenti dell’attrazione
sono ancora date dalle derivate del potenziale U, che ha l’espressione
U = f
S
µ
r dS.
Tale potenziale, come funzione delle coordinate x,y,z di P, è finito, continuo e derivabile a piacere.
In particolare vale la regola di derivazione sotto il segno di integrale:
∂U
∂x
Derivando ulteriormente si verifica che:
∆U = f
= f
S
S
µ∆
µ ∂1
r
∂x dS.
1
dS = 0.
r
Notiamo che, a differenza del caso di un numero finito di punti potenzianti, il caso di masse
distribuite con continuità ammette, per il potenziale e per le sue derivate, che il punto potenziato
P si avvicini al campo o, addiritura, lo penetri. Consideriamo anzitutto il potenziale di una
distribuzione di materia a tre dimensioni U = U(x,y,z); se il punto P(x,y,z) va a sovrapporsi, o
tende, ad un punto Q(x,y,z) del corpo la funzione integranda diventa infinita, ma poiché il suo
ordine di infinito è 1 allora essa si mantiene integrabile e il potenziale U risulta finito e continuo,
insieme alla sua derivata prima, non soltanto fuori dalla massa potenziante ma anche sul
contorno e all’interno. Nel caso di una distribuzione della materia a due dimensioni allora il
potenziale U(x,y,z) è finito e continuo per ogni punto potenziato P. Infine nel caso di distribuzione
lineare della materia l’integrale U = f
ℓ dℓ diventa infinito sulla linea potenziante ℓ.
A.1.2 Attrazione di una superficie sferica σ omogenea
µ
r
L’attrazione complessiva di una superficie sferica omogenea è nulla in tutti i punti P
interni alla sfera. Quindi in tutto lo spazio interno a σ (dove l’attrazione è nulla) il potenziale
µ
U(x,y,z) = f
σ r dσ
ha un valore costante, dove µ = m
|σ|
= m
4πR 2 è la densità della superficie sferica; per determinare tale
valore basterà calcolarlo per un punto particolare, scelto a piacere, e converrà scegliere il centro della
sfera in cui r = R è costante, dove R è il raggio della sfera. Risulta quindi U = f m
R .
Nel caso di un punto potenziato esterno alla sfera distante ρ > R dal centro O avremo che:
U = f m,
cioé una superfice sferica omogenea agisce sui punti esterni come se tutta la massa fosse
ρ
raccolta nel centro.