Note del corso di Fisica Matematica A
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170 A Appen<strong>di</strong>ce<br />
e quin<strong>di</strong> si osserva che<br />
∆U = ∂2U ∂x2 + ∂2U ∂y2 + ∂2U = 0,<br />
∂z2 cioé U è una funzione armonica.<br />
Nel caso <strong>di</strong> masse potenzianti continue <strong>di</strong> densità µ e occupanti il volume S avremo che per ogni<br />
punto potenziato P, esterno al campo S occupato dalle potenzianti, le componenti <strong>del</strong>l’attrazione<br />
sono ancora date dalle derivate <strong>del</strong> potenziale U, che ha l’espressione<br />
<br />
U = f<br />
S<br />
µ<br />
r dS.<br />
Tale potenziale, come funzione <strong>del</strong>le coor<strong>di</strong>nate x,y,z <strong>di</strong> P, è finito, continuo e derivabile a piacere.<br />
In particolare vale la regola <strong>di</strong> derivazione sotto il segno <strong>di</strong> integrale:<br />
∂U<br />
∂x<br />
Derivando ulteriormente si verifica che:<br />
<br />
∆U = f<br />
<br />
= f<br />
S<br />
S<br />
µ∆<br />
µ ∂1<br />
r<br />
∂x dS.<br />
<br />
1<br />
dS = 0.<br />
r<br />
Notiamo che, a <strong>di</strong>fferenza <strong>del</strong> caso <strong>di</strong> un numero finito <strong>di</strong> punti potenzianti, il caso <strong>di</strong> masse<br />
<strong>di</strong>stribuite con continuità ammette, per il potenziale e per le sue derivate, che il punto potenziato<br />
P si avvicini al campo o, ad<strong>di</strong>ritura, lo penetri. Consideriamo anzitutto il potenziale <strong>di</strong> una<br />
<strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> materia a tre <strong>di</strong>mensioni U = U(x,y,z); se il punto P(x,y,z) va a sovrapporsi, o<br />
tende, ad un punto Q(x,y,z) <strong>del</strong> corpo la funzione integranda <strong>di</strong>venta infinita, ma poiché il suo<br />
or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> infinito è 1 allora essa si mantiene integrabile e il potenziale U risulta finito e continuo,<br />
insieme alla sua derivata prima, non soltanto fuori dalla massa potenziante ma anche sul<br />
contorno e all’interno. Nel caso <strong>di</strong> una <strong>di</strong>stribuzione <strong>del</strong>la materia a due <strong>di</strong>mensioni allora il<br />
potenziale U(x,y,z) è finito e continuo per ogni punto potenziato P. Infine nel caso <strong>di</strong> <strong>di</strong>stribuzione<br />
lineare <strong>del</strong>la materia l’integrale U = f <br />
ℓ dℓ <strong>di</strong>venta infinito sulla linea potenziante ℓ.<br />
A.1.2 Attrazione <strong>di</strong> una superficie sferica σ omogenea<br />
µ<br />
r<br />
L’attrazione complessiva <strong>di</strong> una superficie sferica omogenea è nulla in tutti i punti P<br />
interni alla sfera. Quin<strong>di</strong> in tutto lo spazio interno a σ (dove l’attrazione è nulla) il potenziale<br />
<br />
µ<br />
U(x,y,z) = f<br />
σ r dσ<br />
ha un valore costante, dove µ = m<br />
|σ|<br />
= m<br />
4πR 2 è la densità <strong>del</strong>la superficie sferica; per determinare tale<br />
valore basterà calcolarlo per un punto particolare, scelto a piacere, e converrà scegliere il centro <strong>del</strong>la<br />
sfera in cui r = R è costante, dove R è il raggio <strong>del</strong>la sfera. Risulta quin<strong>di</strong> U = f m<br />
R .<br />
Nel caso <strong>di</strong> un punto potenziato esterno alla sfera <strong>di</strong>stante ρ > R dal centro O avremo che:<br />
U = f m,<br />
cioé una superfice sferica omogenea agisce sui punti esterni come se tutta la massa fosse<br />
ρ<br />
raccolta nel centro.