Note del corso di Fisica Matematica A
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A<br />
Appen<strong>di</strong>ce<br />
A.1 Cenni sull’attrazione Newtoniana<br />
A.1.1 Potenziale<br />
Dati due punti materiali P e Q un osservatore inerziale misura su questi, in virtù <strong>del</strong> III◦ principio<br />
<strong>di</strong> Newton, due forze uguali ed opposte e <strong>di</strong>rette lungo la congiungente, che si esercitano, rispettivamente,<br />
sopra P e sopra Q. È utile considerarne una sola, per es. quella risentita dal punto P;<br />
<strong>di</strong>remo quin<strong>di</strong> Q punto (o massa) potenziante e P punto potenziato. L’attrazione Newtoniana<br />
esercitata da Q, riguardata come <strong>di</strong>pendente dalla posizione <strong>di</strong> P e pensando Q fisso, ha intensità che<br />
vale f mm1<br />
r2 ed è <strong>di</strong>retta verso Q, dove f è la costante (positiva) <strong>di</strong> attrazione universale, m, m1 sono<br />
le masse gravitazionali dei due punti e r la loro <strong>di</strong>stanza. Pertanto risulta essere una forza centrale<br />
(pensando Q fisso) e quin<strong>di</strong> conservativa. Il potenziale è, a meno <strong>di</strong> una costante ad<strong>di</strong>tiva,<br />
U = f mm1<br />
.<br />
r<br />
Ingenerale,considerandoilpuntoP comepuntopotenziato,supponiamovisiaunnumeroqualsiasi<br />
<strong>di</strong> punti potenzianti Qi. Prescindendo dalla massa m <strong>di</strong> P, chiameremo potenziale Newtoniano<br />
la funzione<br />
U = f <br />
i<br />
mi<br />
|P −Qi|<br />
(A.1)<br />
La U, considerata come funzione <strong>del</strong>le coor<strong>di</strong>nate x,y,z <strong>del</strong> punto P, è finita e continua per tutti<br />
i punti <strong>del</strong>lo spazio, fatta soltanto eccezione per i punti potenzianti Qi.<br />
Un breve calcolo prova che:<br />
e<br />
∂ 1<br />
ri<br />
∂x = ∂[(x−xi) 2 +(y −yi) 2 +(z −zi) 2 ] −1/2<br />
∂x<br />
= − 1 2(x−xi)<br />
2[(x−xi)<br />
2 +(y −yi) 2 +(z −zi) 2 = −x−xi ,<br />
] 3/2<br />
2 1 ∂ ri 1<br />
= −<br />
∂x2 r3 i<br />
+ 3 (x−xi) 2<br />
r 5 i<br />
r 3 i