Note del corso di Fisica Matematica A

A
Appendice
A.1 Cenni sull’attrazione Newtoniana
A.1.1 Potenziale
Dati due punti materiali P e Q un osservatore inerziale misura su questi, in virtù del III◦ principio
di Newton, due forze uguali ed opposte e dirette lungo la congiungente, che si esercitano, rispettivamente,
sopra P e sopra Q. È utile considerarne una sola, per es. quella risentita dal punto P;
diremo quindi Q punto (o massa) potenziante e P punto potenziato. L’attrazione Newtoniana
esercitata da Q, riguardata come dipendente dalla posizione di P e pensando Q fisso, ha intensità che
vale f mm1
r2 ed è diretta verso Q, dove f è la costante (positiva) di attrazione universale, m, m1 sono
le masse gravitazionali dei due punti e r la loro distanza. Pertanto risulta essere una forza centrale
(pensando Q fisso) e quindi conservativa. Il potenziale è, a meno di una costante additiva,
U = f mm1
.
r
Ingenerale,considerandoilpuntoP comepuntopotenziato,supponiamovisiaunnumeroqualsiasi
di punti potenzianti Qi. Prescindendo dalla massa m di P, chiameremo potenziale Newtoniano
la funzione
U = f
i
mi
|P −Qi|
(A.1)
La U, considerata come funzione delle coordinate x,y,z del punto P, è finita e continua per tutti
i punti dello spazio, fatta soltanto eccezione per i punti potenzianti Qi.
Un breve calcolo prova che:
e
∂ 1
ri
∂x = ∂[(x−xi) 2 +(y −yi) 2 +(z −zi) 2 ] −1/2
∂x
= − 1 2(x−xi)
2[(x−xi)
2 +(y −yi) 2 +(z −zi) 2 = −x−xi ,
] 3/2
2 1 ∂ ri 1
= −
∂x2 r3 i
+ 3 (x−xi) 2
r 5 i
r 3 i