Note del corso di Fisica Matematica A

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168 7 Esercizi tratti da prove d’esame Esercizio 7.12: Nel piano (O;x,y), con y verticale ascendente, é mobile il sistema materiale pesante costituito da un’asta rigida CE e da una lamina quadrata ABCD. La lamina quadrata é omogenea, ha massa M e lato lungo L. L’asta é omogenea, ha massa m e lunghezza ℓ, ℓ > √ 2L. La lamina ABCD ha un asse fisso passante per A ≡ O. L’asta CE é vincolata a scorrere in E lungo l’asse delle ascisse ed in C é incernierata al vertice C della lamina. Sul sistema agisce, altre alla forza peso, una forza elastica dovuta ad una molla di costante di elasticitá k aventi estremi fissi in O e nell’estremo E dell’asta. L’unico parametro lagrangiano é l’angolo θ ∈ (−π,+π] che la diagonale AC forma con l’asse delle ascisse. O=A In assenza di attrito si domanda: D y θ C B 1. Il potenziale delle forze attive e l’energia cinetica. 2. Determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilitá; fissato in modo opportuno un parametro adimensionale disegnare il diagramma della biforcazioni. 3. Ritrovareleconfigurazionidiequilibriofacendousodelleequazionicardinalidellastatica. Trovare inoltre le reazioni vincolari in corrispondenza alle configurazioni d’equilibrio. 4. Scrivere le equazioni cardinali della dinamica. E x
A Appendice A.1 Cenni sull’attrazione Newtoniana A.1.1 Potenziale Dati due punti materiali P e Q un osservatore inerziale misura su questi, in virtù del III◦ principio di Newton, due forze uguali ed opposte e dirette lungo la congiungente, che si esercitano, rispettivamente, sopra P e sopra Q. È utile considerarne una sola, per es. quella risentita dal punto P; diremo quindi Q punto (o massa) potenziante e P punto potenziato. L’attrazione Newtoniana esercitata da Q, riguardata come dipendente dalla posizione di P e pensando Q fisso, ha intensità che vale f mm1 r2 ed è diretta verso Q, dove f è la costante (positiva) di attrazione universale, m, m1 sono le masse gravitazionali dei due punti e r la loro distanza. Pertanto risulta essere una forza centrale (pensando Q fisso) e quindi conservativa. Il potenziale è, a meno di una costante additiva, U = f mm1 . r Ingenerale,considerandoilpuntoP comepuntopotenziato,supponiamovisiaunnumeroqualsiasi di punti potenzianti Qi. Prescindendo dalla massa m di P, chiameremo potenziale Newtoniano la funzione U = f i mi |P −Qi| (A.1) La U, considerata come funzione delle coordinate x,y,z del punto P, è finita e continua per tutti i punti dello spazio, fatta soltanto eccezione per i punti potenzianti Qi. Un breve calcolo prova che: e ∂ 1 ri ∂x = ∂[(x−xi) 2 +(y −yi) 2 +(z −zi) 2 ] −1/2 ∂x = − 1 2(x−xi) 2[(x−xi) 2 +(y −yi) 2 +(z −zi) 2 = −x−xi , ] 3/2 2 1 ∂ ri 1 = − ∂x2 r3 i + 3 (x−xi) 2 r 5 i r 3 i
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Fisica Matematica A 1 Marzo, 2013
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VI Sommario 2.3.4 Esercizi.........
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VIII Sommario 6 Cenni di meccanica
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2 1 Calcolo Vettoriale Definizione
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6 1 Calcolo Vettoriale P(t)−O = x
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2 Cinematica Si dice Cinematica que
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. . Fig. 2.1. La velocitá v é se
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2.1 Cinematica del punto 17 Dimostr
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2.1 Cinematica del punto 19 e la su
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θ Fig. 2.4. Sistema biella-manove
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2.2.3 Moti rotatori 2.2 Cinematica
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Il moto assoluto di P è dato dalla
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γ δ . δ σ π 2.4 Cinematica d
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48 3 Generalità sui sistemi e gran
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4 Statica 4.1 Statica del punto e a
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4.2 Equazioni cardinali della stati
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