Note del corso di Fisica Matematica A

7 Esercizi tratti da prove d’esame 167
Esercizio 7.11: Nel piano (O;x,y), con y verticale ascendente, é mobile il sistema materiale
rigido costituito da:
- un’asta rigida AB, lunga ℓ e densitá ρ(ξ) = m
ℓ 3ξ 2 , dove ξ é la distanza del generico punto dell’asta
da A;
- un punto P di massa µ.
L’estremo A é vincolato a scorrere lungo l’asse (O;y) e l’estremo B lungo l’asse (O;x). Sul
sistema, oltre alla forza peso, agisce una forza elastica (B,−k(B−O)), dove O é l’origine del sistema
diriferimentoek éunacostantepositivaassegnata. IlpuntoP éappesolungol’assedelleordinatead
un filo flessibile, inestendile e massa trascurabile, passante per una carrucola (di massa e dimensioni
trascurabili) posta in O e avente l’altro capo collegato nell’estremo B dell’asta.
Il sistema é ad un grado di libertá e come parametro lagrangiano si sceglie l’angolo θ ∈
0, 1
2π che l’asta AB forma con il semiasse positivo delle ordinate.
In assenza di attrito si domanda:
A
O
P
y
θ
1. La massa dell’asta AB e la distanza del baricentro G dell’asta dall’estremo A. Il momento
d’inerzia dell’asta rispetto all’asse passante per A e normale al piano (O;x,y).
2. Il potenziale e l’energia cinetica.
3. Le equazioni differenziali del moto.
4. Le equazioni cardinali della statica.
5. Facendo uso delle equazioni cardinali della dinamica ritrovare il risultato in 3.
B
x