Note del corso di Fisica Matematica A
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7 Esercizi tratti da prove d’esame 167<br />
Esercizio 7.11: Nel piano (O;x,y), con y verticale ascendente, é mobile il sistema materiale<br />
rigido costituito da:<br />
- un’asta rigida AB, lunga ℓ e densitá ρ(ξ) = m<br />
ℓ 3ξ 2 , dove ξ é la <strong>di</strong>stanza <strong>del</strong> generico punto <strong>del</strong>l’asta<br />
da A;<br />
- un punto P <strong>di</strong> massa µ.<br />
L’estremo A é vincolato a scorrere lungo l’asse (O;y) e l’estremo B lungo l’asse (O;x). Sul<br />
sistema, oltre alla forza peso, agisce una forza elastica (B,−k(B−O)), dove O é l’origine <strong>del</strong> sistema<br />
<strong>di</strong>riferimentoek éunacostantepositivaassegnata. IlpuntoP éappesolungol’asse<strong>del</strong>leor<strong>di</strong>natead<br />
un filo flessibile, inesten<strong>di</strong>le e massa trascurabile, passante per una carrucola (<strong>di</strong> massa e <strong>di</strong>mensioni<br />
trascurabili) posta in O e avente l’altro capo collegato nell’estremo B <strong>del</strong>l’asta.<br />
Il sistema é ad un grado <strong>di</strong> libertá e come parametro lagrangiano si sceglie l’angolo θ ∈ <br />
0, 1<br />
2π che l’asta AB forma con il semiasse positivo <strong>del</strong>le or<strong>di</strong>nate.<br />
In assenza <strong>di</strong> attrito si domanda:<br />
A<br />
O<br />
P<br />
y<br />
θ<br />
1. La massa <strong>del</strong>l’asta AB e la <strong>di</strong>stanza <strong>del</strong> baricentro G <strong>del</strong>l’asta dall’estremo A. Il momento<br />
d’inerzia <strong>del</strong>l’asta rispetto all’asse passante per A e normale al piano (O;x,y).<br />
2. Il potenziale e l’energia cinetica.<br />
3. Le equazioni <strong>di</strong>fferenziali <strong>del</strong> moto.<br />
4. Le equazioni car<strong>di</strong>nali <strong>del</strong>la statica.<br />
5. Facendo uso <strong>del</strong>le equazioni car<strong>di</strong>nali <strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica ritrovare il risultato in 3.<br />
B<br />
x