Note del corso di Fisica Matematica A

7 Esercizi tratti da prove d’esame 163
Esercizio 7.7: Nel piano (O;x,y), con y verticale ascendente, è mobile il sistema materiale costituito
da:
- un’asta AC non omogenea di lunghezza L, massa m e densità ρ(s) = c √ s, dove s è la distanza
del generico punto dell’asta dall’estremo C;
- un disco omogeneo, di raggio R, centro C e di massa M.
Il disco é vincolato a rotolare senza strisciare lungo il semi-asse positivo delle ordinate, l’asta
é incernierata al disco in C e ha l’altro estremo A vincolato a scorrere senza attrito sull’asse delle
ascisse.
Oltre alla forza peso agisce una forza elastica dovuta ad una molla di costante k aventi un estremo
in A e l’altro estremo nel punto H(R,0).
Il sistema è a un grado di libertà e come parametro lagrangiano si assume l’angolo ψ =
HCA ∈
−1 2π,+1 2π. y
Ο
In assenza di attrito in A si domanda:
Η
Χ
ψ
1. La costante c che compare nella espressione della densità dell’asta, il baricentro dell’asta ed il
momento d’inerzia dell’asta rispetto ad il suo baricentro.
2. Il potenziale delle forze attive e l’energia cinetica del sistema.
3. Determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilitá, disegnare il diagramma delle
biforcazioni.
4. Scrivere le equazioni cardinali della statica, in particolare ritrovare le equazioni per l’equilibrio già
determinate in 3..
5. Scrivere le equazioni cardinali della Dinamica.
Α
x