Note del corso di Fisica Matematica A

160 7 Esercizi tratti da prove d’esame
Esercizio 7.4: Nel piano (O;x,y), con y verticale ascendente, é mobile il sistema materiale costituito
da:
- una squadra rigida AOB costituita da due aste rigide AO e OB saldate ad angolo retto;
- un punto materiale P di massa m.
L’asta AO ha lunghezza ℓ e densitá ρ(s) = m
ℓ 2s, dove s ∈ [0,ℓ] é la distanza del generico punto
dell’asta dall’estremo O. L’asta OB é omogenea, ha lunghezza 4ℓ e massa 2m. La squadra AOB ha
asse fisso normale al piano (O;x,y) e passante per O; il punto P é vincolato a scorrere lungo l’asta
OB. Sul sistema, oltre alla forza peso, sono applicate in P due forze elastiche (P,−k(P −O)), dove
O é l’origine del sistema di riferimento, e (P,−k(P −H)), dove H é la proiezione di P sull’asse x; k
é una costante positiva assegnata.
I parametri lagrangiani sono l’angolo θ ∈ [0,2π) che l’asta OB forma con il semiasse negativo e
la distanza ξ > 0 tra il punto P e l’origine O.
A
In assenza di attrito si domanda:
y
O H
θ
ξ
1. La massa dell’asta OA e la distanza del baricentro G1 dell’asta OA dall’estremo O. Il momento
d’inerzia dell’asta OA rispetto all’asse passante G1 e normale al piano (O;x,y).
2. Il potenziale e l’energia cinetica.
3. Le equazioni differenziali del moto.
4. Le equazioni cardinali della statica.
5. Escludendolemolleeassumendochesiaθ(t) = ωt,doveω éunacostanteassegnata,eξ(t) = ℓe −ct ,
dove c > 0 é una costante assegnata, determinare la velocitá del punto P al generico istante t.
P
B
x