Note del corso di Fisica Matematica A

7 Esercizi tratti da prove d’esame 159
Esercizio 7.3: Nel piano (O;x,y), con y verticale ascendente, é mobile il sistema materiale costituito
da:
- una lamina reattangolare rigida OABC aventi lati OA = ℓ e AB = 2ℓ e densitá ρ = m
ℓ 4ξη dove
(ξ,η) sono le coordinate del generico punto della lamina riferita alla lamina stessa (prendendo
come origine il punto O e asse ξ diretto lungo OA e asse η diretto lungo OC) ;
- un punto materiale P di massa 2m ed un punto Q di massa m.
La lamina ha asse fisso normale al piano (O;x,y) e passante per O; il punto P é vincolato a
scorrere lungo l’asta OC ed é collegato, tramite un filo flessibile, inestendibile, di massa trascurabile,
lunghezza L e passante per una carrucola di massa e dimensioni trascurabili fissata in C, al punto
Q. Sul sistema, oltre alla forza peso, una forza elastica applicata in C (C,−k(C −H)) dove H é la
proiezione di C sull’asse y; k é una costante positiva assegnata.
I parametri lagrangiani sono l’angolo θ ∈
0, 1
2π che l’asta OC forma con il semiasse positivo
delle ordinate e la distanza r > 0 tra il punto P e l’origine O.
y
θ r
In assenza di attrito si domanda:
H
O
P
A
1. La massa della lamina OABC e le coordinate del baricentro (ξ,η) rispetto alla lamina stessa.
2. Il momento d’inerzia della lamina rispetto all’asse passante per O e normale al piano (O;x,y). Il
momento d’inerzia della lamina rispetto all’asse passante per il baricentro G e normale al piano
(O;x,y).
3. Il potenziale delle forze attive e l’energia cinetica (assumendo che Q resti sempre sulla verticale
passante per C).
4. Determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilitá in funzione del parametro
α = kℓ
mg .
5. Le equazioni cardinali della statica.
C
Q
B
x