Note del corso di Fisica Matematica A

158 7 Esercizi tratti da prove d’esame
Esercizio 7.2: Nel piano (O;x,y), con y verticale ascendente, è mobile il sistema materiale costituito
da:
- un’asta AB non omogenea di lunghezza L, massa m e densità ρ(s) = c
s− 1
2L 2
, dove s è la
distanza del generico punto dell’asta dall’estremo A;
- un disco omogeneo, di raggio R, centro C e di massa M.
L’asta é appoggiata al punto M di coordinate (0,2R) e al disco come in figura; il disco è vincolato
a rotolare senza strisciare sull’asse x e tra l’asta ed il disco c’é il vincolo di puro rotolamento.
Oltre alla forza peso agisce: una forza elastica dovuta ad una molla di costante k aventi un estremo
in C e l’altro estremo nella proiezione H di C sull’asse y; una forza costante applicata nell’estremo
B dell’asta e di vettore costante Fî, F > 0.
Il sistema è a un grado di libertà e come parametro lagrangiano si assume la coordinata x > 0 del
punto C, centro del disco.
A
y
M
H
O
In assenza di attrito in M si domanda:
1. La costante c che compare nella espressione della densità dell’asta, il baricentro dell’asta ed il
momento d’inerzia dell’asta rispetto ad il suo baricentro.
2. Il potenziale delle forze attive e l’energia cinetica del sistema, scrivere le equazioni per l’equilibrio
del sistema.
3. Scrivere le equazioni cardinali della statica, in particolare ritrovare le equazioni per l’equilibrio già
determinate in 2..
4. Determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilità.
5. Scrivere le equazioni cardinali della Dinamica.
C
B
F
x