Note del corso di Fisica Matematica A

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154 6 Cenni di meccanica dei continui deformabili in virtù delle equazioni indefinite dell’equilibrio. Quindi si conclude che Ω1 = (Φ2,3 −Φ3,2)ρdv V e dovendo essere Ω1 = 0 per ogni possibile scelta del volume V segue che Analogamente segue che Φ2,3 = Φ3,2. Φ1,3 = Φ3,1 e Φ1,2 = Φ2,1 completando la dimostrazione. Le equazioni indefinite (6.55, 6.56, 6.57) e le (6.58) non bastano da sole per lo studio dell’equilibrio di un continuo deformabile, ma occorrono anche le cosiddette condizioni al contorno. Queste ultime si ottengono osservando che, per l’equilibrio, la forza superficiale esterna Ψ assegnata e gli sforzi specifici esercitati dal corpo sulla faccia interna della superficie di contorno σ devono avere vettore risultante nullo, ossia essere Φ = −Ψ, cioè, per le (6.50), Φ1,1α1 +Φ2,1α2 +Φ3,1α3 = −Ψ1; (6.60) Φ1,2α1 +Φ2,2α2 +Φ3,2α3 = −Ψ2; (6.61) Φ1,2α1 +Φ2,2α2 +Φ3,2α3 = −Ψ2. (6.62) Le equazioni (6.55), (6.56), (6.57) e (6.58) devono essere verificate per ogni punto del corpo mentre le (6.60), (6.61) e (6.62) devono essere verificate per ogni punto della superficie. 6.3.5 Le equazioni costitutive Le considerazioni fin qui svolte valgono per un qualunque continuo deformabile e proprio per questa loro generalità il problema dell’equilibrio è ancora indeterminato. In realtà non si sono fatte ancora intervenire le proprietà fisiche e strutturali del corpo che distinguono un corpo elastico da un fluido, ad esempio; occorre cioè assegnare le equazioni costitutive, che ovviamente variano da tipo a tipo di corpo deformabile. In particolare i fluidi perfetti (liquidi e gas non viscosi) sono caratterizzati dalla proprietà che lo sforzo Φdσ su un elemento di superficie dσ qualsiasi all’interno del fluido è sempre normale a dσ stesso. In altre parole in un fluido perfetto non esistono sforzi di taglio, quindi rispetto a un qualsiasi sistema di assi è sempre Φ1,2 = Φ2,3 = Φ3,1 = 0. (6.63) Ciò significa che qualunque sistema di assi è un sistema di assi principali per la quadrica associato allo stress, cioè tale quadrica è una sfera. Inoltre, affinchè poi l’equazione rappresenti una sfera si deve avere Φ1,1x 2 1 +Φ2,2x 2 2 +Φ3,3x 2 3 = 1 Φ1,1 = Φ2,2 = Φ3,3 = P. Da ciò segue subito il principio di Pascal: in un fluido il valore ΦN dello sforzo specifico (normale) su dσ è indipendente dall’orientazione di dσ; infatti è
ΦN = Φ· ˆ N = Φ1α1 +Φ2α2 +Φ3α3 = Φ1,1α 2 1 +Φ2,2α 2 2 +Φ3,3α 2 3 = P(α 2 1 +α 2 2 +α 2 3) = P. 6.3 Statica dei continui deformabili 155 P si chiama poi la pressione del fluido. Le equazioni indefinite dell’equilibrio dei fluidi perfetti diventano ∂P ∂x1 = ρF1, ∂P ∂x2 = ρF2, ∂P = ρF3 ossia ∇P = ρF. ∂x3
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Fisica Matematica A 1 Marzo, 2013
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