Note del corso di Fisica Matematica A

154 6 Cenni di meccanica dei continui deformabili
in virtù delle equazioni indefinite dell’equilibrio. Quindi si conclude che
Ω1 =
(Φ2,3 −Φ3,2)ρdv
V
e dovendo essere Ω1 = 0 per ogni possibile scelta del volume V segue che
Analogamente segue che
Φ2,3 = Φ3,2.
Φ1,3 = Φ3,1 e Φ1,2 = Φ2,1
completando la dimostrazione.
Le equazioni indefinite (6.55, 6.56, 6.57) e le (6.58) non bastano da sole per lo studio dell’equilibrio
di un continuo deformabile, ma occorrono anche le cosiddette condizioni al contorno. Queste ultime
si ottengono osservando che, per l’equilibrio, la forza superficiale esterna Ψ assegnata e gli sforzi
specifici esercitati dal corpo sulla faccia interna della superficie di contorno σ devono avere vettore
risultante nullo, ossia essere Φ = −Ψ, cioè, per le (6.50),
Φ1,1α1 +Φ2,1α2 +Φ3,1α3 = −Ψ1; (6.60)
Φ1,2α1 +Φ2,2α2 +Φ3,2α3 = −Ψ2; (6.61)
Φ1,2α1 +Φ2,2α2 +Φ3,2α3 = −Ψ2. (6.62)
Le equazioni (6.55), (6.56), (6.57) e (6.58) devono essere verificate per ogni punto del corpo mentre
le (6.60), (6.61) e (6.62) devono essere verificate per ogni punto della superficie.
6.3.5 Le equazioni costitutive
Le considerazioni fin qui svolte valgono per un qualunque continuo deformabile e proprio per questa
loro generalità il problema dell’equilibrio è ancora indeterminato. In realtà non si sono fatte ancora
intervenire le proprietà fisiche e strutturali del corpo che distinguono un corpo elastico da un fluido,
ad esempio; occorre cioè assegnare le equazioni costitutive, che ovviamente variano da tipo a tipo
di corpo deformabile. In particolare i fluidi perfetti (liquidi e gas non viscosi) sono caratterizzati
dalla proprietà che lo sforzo Φdσ su un elemento di superficie dσ qualsiasi all’interno del fluido è
sempre normale a dσ stesso. In altre parole in un fluido perfetto non esistono sforzi di taglio,
quindi rispetto a un qualsiasi sistema di assi è sempre
Φ1,2 = Φ2,3 = Φ3,1 = 0. (6.63)
Ciò significa che qualunque sistema di assi è un sistema di assi principali per la quadrica associato
allo stress, cioè tale quadrica è una sfera. Inoltre, affinchè poi l’equazione
rappresenti una sfera si deve avere
Φ1,1x 2 1 +Φ2,2x 2 2 +Φ3,3x 2 3 = 1
Φ1,1 = Φ2,2 = Φ3,3 = P.
Da ciò segue subito il principio di Pascal: in un fluido il valore ΦN dello sforzo specifico
(normale) su dσ è indipendente dall’orientazione di dσ; infatti è