Note del corso di Fisica Matematica A
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∂Φ1,1<br />
∂x1<br />
∂Φ1,2<br />
∂x1<br />
∂Φ1,3<br />
∂x1<br />
+ ∂Φ2,1<br />
∂x2<br />
+ ∂Φ2,2<br />
∂x2<br />
+ ∂Φ2,3<br />
∂x2<br />
6.3 Statica dei continui deformabili 153<br />
+ ∂Φ3,1<br />
∂x3 = ρF1 (6.55)<br />
+ ∂Φ3,2<br />
∂x3 = ρF2 (6.56)<br />
+ ∂Φ3,3<br />
∂x3 = ρF3 (6.57)<br />
che sono equazioni <strong>di</strong>fferenziali nelle variabili spaziali a cui devono sod<strong>di</strong>sfare gli sforzi specifici in<br />
con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> equilibrio.<br />
Analogamente, partendo dalla equazione Ω = 0, si giunge alle seguenti con<strong>di</strong>zioni<br />
Φi,k = Φk,i, ∀i = k (6.58)<br />
cioè la matrice <strong>del</strong>lo stress, in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> equilibrio, è simmetrica. Osserviamo comunque<br />
che questo risultato è conseguenza <strong>del</strong>l’aver ammesso che il sistema <strong>del</strong>le forze interne attraverso un<br />
elemento superficiale interno al corpo è equivalente ad una sola forza; se invece si ammette anche<br />
la coppia, allora lo stress non è più simmetrico.<br />
Dimostriamo la (6.58). A tal fine calcoliamo la componente rispetto all’asse <strong>di</strong> versore ê1 <strong>del</strong><br />
momento risultante <strong>del</strong>le forze <strong>di</strong> massa, esso sarà:<br />
Ω ′ <br />
1 =<br />
(x2F3 −x3F2)ρdv;<br />
V<br />
mentre la componente rispetto all’asse <strong>di</strong> versore ê1 <strong>del</strong> momento risultante degli sforzi agenti attraverso<br />
la superficie σ sarà:<br />
Ω ′′<br />
<br />
1 = − (x2Φ3 −x3Φ2)ρdσ. (6.59)<br />
σ<br />
Quin<strong>di</strong><br />
<br />
<br />
Ω1 = (x2F3 −x3F2)ρdv − (x2Φ3 −x3Φ2)ρdσ.<br />
V<br />
σ<br />
In virtù <strong>del</strong>le formule <strong>di</strong> Cauchy si ha che la (6.59) assume la forma<br />
Ω ′′<br />
<br />
1 = −<br />
che dal Teorema <strong>di</strong> Gauss <strong>di</strong>venta<br />
Ω ′′<br />
<br />
1 = −<br />
σ<br />
<br />
∂<br />
= −<br />
V<br />
[x2(Φ1,3α1 +Φ2,3α2 +Φ3,3α3)−x3(Φ1,2α1 +Φ2,2α2 +Φ3,2α3)]ρdσ.<br />
σ<br />
[(x2Φ1,3 −x3Φ1,2)α1 +(x2Φ2,3 −x3Φ2,2)α2 +(x2Φ3,3 −x3Φ3,2)α3]ρdσ<br />
(x2Φ1,3 −x3Φ1,2)+<br />
∂x1<br />
∂<br />
<br />
∂x2<br />
+ ∂<br />
(x2Φ3,3 −x3Φ3,2) ρdv<br />
∂x3<br />
<br />
∂Φ1,3<br />
= − x2 +<br />
V ∂x1<br />
∂Φ2,3<br />
+<br />
∂x2<br />
∂Φ3,3<br />
<br />
∂x3<br />
<br />
∂Φ1,2<br />
−x3 +<br />
∂x1<br />
∂Φ2,2<br />
+<br />
∂x2<br />
∂Φ3,2<br />
<br />
−Φ3,2<br />
∂x3<br />
<br />
= − [(x2F3 −x3F2)ρ+Φ2,3 −Φ3,2]ρdv<br />
V<br />
(x2Φ2,3 −x3Φ2,2)+<br />
+Φ2,3+<br />
<br />
ρdv