Note del corso di Fisica Matematica A

∂Φ1,1
∂x1
∂Φ1,2
∂x1
∂Φ1,3
∂x1
+ ∂Φ2,1
∂x2
+ ∂Φ2,2
∂x2
+ ∂Φ2,3
∂x2
6.3 Statica dei continui deformabili 153
+ ∂Φ3,1
∂x3 = ρF1 (6.55)
+ ∂Φ3,2
∂x3 = ρF2 (6.56)
+ ∂Φ3,3
∂x3 = ρF3 (6.57)
che sono equazioni differenziali nelle variabili spaziali a cui devono soddisfare gli sforzi specifici in
condizioni di equilibrio.
Analogamente, partendo dalla equazione Ω = 0, si giunge alle seguenti condizioni
Φi,k = Φk,i, ∀i = k (6.58)
cioè la matrice dello stress, in condizioni di equilibrio, è simmetrica. Osserviamo comunque
che questo risultato è conseguenza dell’aver ammesso che il sistema delle forze interne attraverso un
elemento superficiale interno al corpo è equivalente ad una sola forza; se invece si ammette anche
la coppia, allora lo stress non è più simmetrico.
Dimostriamo la (6.58). A tal fine calcoliamo la componente rispetto all’asse di versore ê1 del
momento risultante delle forze di massa, esso sarà:
Ω ′
1 =
(x2F3 −x3F2)ρdv;
V
mentre la componente rispetto all’asse di versore ê1 del momento risultante degli sforzi agenti attraverso
la superficie σ sarà:
Ω ′′
1 = − (x2Φ3 −x3Φ2)ρdσ. (6.59)
σ
Quindi
Ω1 = (x2F3 −x3F2)ρdv − (x2Φ3 −x3Φ2)ρdσ.
V
σ
In virtù delle formule di Cauchy si ha che la (6.59) assume la forma
Ω ′′
1 = −
che dal Teorema di Gauss diventa
Ω ′′
1 = −
σ
∂
= −
V
[x2(Φ1,3α1 +Φ2,3α2 +Φ3,3α3)−x3(Φ1,2α1 +Φ2,2α2 +Φ3,2α3)]ρdσ.
σ
[(x2Φ1,3 −x3Φ1,2)α1 +(x2Φ2,3 −x3Φ2,2)α2 +(x2Φ3,3 −x3Φ3,2)α3]ρdσ
(x2Φ1,3 −x3Φ1,2)+
∂x1
∂
∂x2
+ ∂
(x2Φ3,3 −x3Φ3,2) ρdv
∂x3
∂Φ1,3
= − x2 +
V ∂x1
∂Φ2,3
+
∂x2
∂Φ3,3
∂x3
∂Φ1,2
−x3 +
∂x1
∂Φ2,2
+
∂x2
∂Φ3,2
−Φ3,2
∂x3
= − [(x2F3 −x3F2)ρ+Φ2,3 −Φ3,2]ρdv
V
(x2Φ2,3 −x3Φ2,2)+
+Φ2,3+
ρdv