Note del corso di Fisica Matematica A

152 6 Cenni di meccanica dei continui deformabili
⎧
⎪⎨ Φ1(P) = Φ1,1α1 +Φ2,1α2 +Φ3,1α3
Φ2(P) = Φ1,2α1 +Φ2,2α2 +Φ3,2α3
⎪⎩ Φ3(P) = Φ1,3α1 +Φ2,3α2 +Φ3,3α3
(6.50)
che ci danno lo sforzo specifico in un punto P relativo ad un elemento superficiale, comunque
orientato, in funzione degli sforzi specifici che si esercitano sui tre elementi,
sempre passanti per P, normali agli assi di riferimento.
Analogamente a quanto fatto nel caso delle deformazioni, le (6.50) si possono scrivere sinteticamente
come
Φ = Sˆ N, (6.51)
dove S è un operatore lineare caratterizzato dalla matrice (Φi,k), detto anche omografia o tensore
degli sforzi o stress. L’applicazione di tale operatore sul versore della normale all’elemento
superficiale dσ passante per P produce appunto lo sforzo specifico in P relativo a tale elemento dσ.
6.3.4 Equazioni indefinite dell’equilibrio
Consideriamo una regione qualsiasi V interna al corpo, limitata da una superficie regolare σ di
normale esterna ˆ N aventi componenti α1,α2,α3, e scriviamo per essa le condizioni di equilibrio
R = 0, Ω = 0. Su ogni elemento dv agisce la forza di massa ρFdv, per cui il vettore risultante delle
forze di massa agenti su V sarà
ρFdv.
V
Attraverso poi ogni elemento superficiale dσ dall’interno verso l’esterno si esercita lo sforzo specifico
Φdσ per cui il vettore risultante degli sforzi agenti sulle particelle della regione V attraverso la
superficie σ = ∂V sarà:
− Φdσ.
σ
In conclusione, l’equazione R = 0 per la sezione V si scrive
Re = ρFdv − Φdσ = 0. (6.52)
V
Della (6.52) consideriamone la prima componente e, tenendo conto delle formule di Cauchy, segue
che:
ρF1dv −
da cui, per il Teorema di Gauss, si deduce
ρF1 −
V
∂Φ1,1
∂x1
V
σ
(Φ1,1α1 +Φ2,1α2 +Φ3,1α3)dσ = 0, (6.53)
σ
− ∂Φ2,1
∂x2
− ∂Φ3,1
dσ = 0. (6.54)
∂x3
La (6.54), assieme alle reazioni analoghe che si ottengono considerando le altre componenti della
(6.52), poiché il volume V è arbitrario, permette di ottenere le seguenti equazioni indefinite
dell’equilibrio