Note del corso di Fisica Matematica A
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152 6 Cenni <strong>di</strong> meccanica dei continui deformabili<br />
⎧<br />
⎪⎨ Φ1(P) = Φ1,1α1 +Φ2,1α2 +Φ3,1α3<br />
Φ2(P) = Φ1,2α1 +Φ2,2α2 +Φ3,2α3<br />
⎪⎩ Φ3(P) = Φ1,3α1 +Φ2,3α2 +Φ3,3α3<br />
(6.50)<br />
che ci danno lo sforzo specifico in un punto P relativo ad un elemento superficiale, comunque<br />
orientato, in funzione degli sforzi specifici che si esercitano sui tre elementi,<br />
sempre passanti per P, normali agli assi <strong>di</strong> riferimento.<br />
Analogamente a quanto fatto nel caso <strong>del</strong>le deformazioni, le (6.50) si possono scrivere sinteticamente<br />
come<br />
Φ = Sˆ N, (6.51)<br />
dove S è un operatore lineare caratterizzato dalla matrice (Φi,k), detto anche omografia o tensore<br />
degli sforzi o stress. L’applicazione <strong>di</strong> tale operatore sul versore <strong>del</strong>la normale all’elemento<br />
superficiale dσ passante per P produce appunto lo sforzo specifico in P relativo a tale elemento dσ.<br />
6.3.4 Equazioni indefinite <strong>del</strong>l’equilibrio<br />
Consideriamo una regione qualsiasi V interna al corpo, limitata da una superficie regolare σ <strong>di</strong><br />
normale esterna ˆ N aventi componenti α1,α2,α3, e scriviamo per essa le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> equilibrio<br />
R = 0, Ω = 0. Su ogni elemento dv agisce la forza <strong>di</strong> massa ρFdv, per cui il vettore risultante <strong>del</strong>le<br />
forze <strong>di</strong> massa agenti su V sarà<br />
<br />
ρFdv.<br />
V<br />
Attraverso poi ogni elemento superficiale dσ dall’interno verso l’esterno si esercita lo sforzo specifico<br />
Φdσ per cui il vettore risultante degli sforzi agenti sulle particelle <strong>del</strong>la regione V attraverso la<br />
superficie σ = ∂V sarà:<br />
<br />
− Φdσ.<br />
σ<br />
In conclusione, l’equazione R = 0 per la sezione V si scrive<br />
<br />
Re = ρFdv − Φdσ = 0. (6.52)<br />
V<br />
Della (6.52) consideriamone la prima componente e, tenendo conto <strong>del</strong>le formule <strong>di</strong> Cauchy, segue<br />
che:<br />
<br />
ρF1dv −<br />
da cui, per il Teorema <strong>di</strong> Gauss, si deduce<br />
<br />
ρF1 −<br />
V<br />
∂Φ1,1<br />
∂x1<br />
V<br />
σ<br />
(Φ1,1α1 +Φ2,1α2 +Φ3,1α3)dσ = 0, (6.53)<br />
σ<br />
− ∂Φ2,1<br />
∂x2<br />
− ∂Φ3,1<br />
<br />
dσ = 0. (6.54)<br />
∂x3<br />
La (6.54), assieme alle reazioni analoghe che si ottengono considerando le altre componenti <strong>del</strong>la<br />
(6.52), poiché il volume V è arbitrario, permette <strong>di</strong> ottenere le seguenti equazioni indefinite<br />
<strong>del</strong>l’equilibrio