Note del corso di Fisica Matematica A
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. <br />
<br />
<br />
σ<br />
Fig. 6.8. Sforzi <strong>di</strong> taglio e normali.<br />
6.3 Statica dei continui deformabili 151<br />
e su <strong>di</strong> essi orientiamo la normale concordemente al verso <strong>del</strong>l’asse ad esso ortogonale, per cui su<br />
<strong>di</strong> esse agiscono gli sforzi specifici (6.42, 6.43, 6.44); in<strong>di</strong>chiamo poi con Φ ≡ (Φ1,Φ2,Φ3) lo sforzo<br />
specifico relativo alla faccia dσ = ABC e alla normale esterna (cioè quello esercitato dalle particelle<br />
<strong>del</strong> tetraedro verso l’esterno attraverso ABC).<br />
All’interno <strong>del</strong> tetraedro agiscono poi le forze esterne <strong>di</strong> massa<br />
dove dv è il volume (infinitesimo) <strong>del</strong> tetraedro, e gli sforzi interni<br />
Per le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> equilibrio R = 0 avremo<br />
ρFdv = (ρF1dv,ρF2dv,ρF3dv) (6.45)<br />
Φ1dσ1, Φ2dσ2, Φ3dσ3, −Φdσ. (6.46)<br />
R1 = ρF1dv +Φ1,1dσ1 +Φ2,1dσ2 +Φ3,1dσ3 −Φ1dσ = 0 (6.47)<br />
e le analoghe R2 = R3 = 0. Se si in<strong>di</strong>ca con h l’altezza <strong>del</strong> tetraedro relativo alla base dσ e ricordando<br />
la (6.45) si ha<br />
dv = 1<br />
3 hdσ e dσ1 = α1dσ, dσ2 = α2dσ, dσ3 = α3dσ (6.48)<br />
per cui la (6.47) <strong>di</strong>venta<br />
<br />
1<br />
3 ρF1h+Φ1,1α1<br />
<br />
+Φ2,1α2 +Φ3,1α3 −Φ1 dσ = 0.<br />
da cui<br />
1<br />
3 ρF1h+Φ1,1α1 +Φ2,1α2 +Φ3,1α3 −Φ1 = 0. (6.49)<br />
Passando ora al limite per h → 0 l’elemento dσ tende all’elemento superficiale passante per P avente<br />
la stessa normale ˆ N e Φ tende allo sforzo specifico relativo a tale elemento superficiale Φ(P,t, ˆ N). Si<br />
ottengono così le formule <strong>di</strong> Cauchy