Note del corso di Fisica Matematica A

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150 6 Cenni di meccanica dei continui deformabili . σ Fig. 6.7. Sforzo interno. sono soddisfatte, non solo per il corpo nel suo insieme, ma anche per una qualsiasi parte di esso, considerato come un sistema a sè, allora il corpo è in equilibrio. Osserviamo che nelle (6.41), scritte per una porzione del corpo, compariranno le forze esterne che competono alla porzione considerata e gli sforzi interni esercitati dalle particelle circostanti alla parte stessa. 6.3.3 Formule di Cauchy Consideriamo per un punto generico P, interno al corpo, tre elementi superficiali paralleli ai piani coordinati e siano Φ1 = Φ1,1ê1 +Φ1,2ê2 +Φ1,3ê3 Φ2 = Φ2,1ê1 +Φ2,2ê2 +Φ2,3ê3 Φ3 = Φ3,1ê1 +Φ3,2ê2 +Φ3,3ê3 Φ σ (6.42) (6.43) (6.44) gli sforzi specifici che si esercitano sugli elementi superficiali normali, nell’ordine, agli assi x1, x2, x3. Ciascuno degli sforzi specifici si può pensare come somma di tre sforzi, uno normale all’elemento superficiale considerato e due tangenti ad esso. Ad esempio, Φ1 è la somma di uno sforzo specifico normale misurato da Φ1,1 e di due sforzi specifici tangenziali (o di taglio), dati da Φ1,2 e Φ1,3, paralleli rispettivamente a x2 e a x3. Quindi Φ1,1, Φ2,2, Φ3,3 sono gli sforzi normali e Φi,k, con i = k, sono gli sforzi di taglio. Consideriamo ora lo sforzo specifico Φ relativo ad un generico elemento superficiale passante per un punto P interno al corpo. Mandiamo da P tre rette parallele agli assi coordinati e tracciamo un piano dσ (infinitamente) vicino a P e parallelo (cioé con le normali parallele) al piano tangente in P all’elemento superficiale considerato. Tale piano incontra le rette nei punti A, B e C i quali, con P, individuano un tetraedro (infinitesimo) ABCP. Sia poi ˆN = α1ê1 +α2ê2 +α3ê3 il versore normale alla faccia ABC orientato verso l’esterno del tetraedro. Le facce dσ1 = PBC, dσ2 = PAC e dσ3 = PAB sono tre elementi superficiali passanti per P e paralleli ai piani coordinati
. σ Fig. 6.8. Sforzi di taglio e normali. 6.3 Statica dei continui deformabili 151 e su di essi orientiamo la normale concordemente al verso dell’asse ad esso ortogonale, per cui su di esse agiscono gli sforzi specifici (6.42, 6.43, 6.44); indichiamo poi con Φ ≡ (Φ1,Φ2,Φ3) lo sforzo specifico relativo alla faccia dσ = ABC e alla normale esterna (cioè quello esercitato dalle particelle del tetraedro verso l’esterno attraverso ABC). All’interno del tetraedro agiscono poi le forze esterne di massa dove dv è il volume (infinitesimo) del tetraedro, e gli sforzi interni Per le condizioni di equilibrio R = 0 avremo ρFdv = (ρF1dv,ρF2dv,ρF3dv) (6.45) Φ1dσ1, Φ2dσ2, Φ3dσ3, −Φdσ. (6.46) R1 = ρF1dv +Φ1,1dσ1 +Φ2,1dσ2 +Φ3,1dσ3 −Φ1dσ = 0 (6.47) e le analoghe R2 = R3 = 0. Se si indica con h l’altezza del tetraedro relativo alla base dσ e ricordando la (6.45) si ha dv = 1 3 hdσ e dσ1 = α1dσ, dσ2 = α2dσ, dσ3 = α3dσ (6.48) per cui la (6.47) diventa 1 3 ρF1h+Φ1,1α1 +Φ2,1α2 +Φ3,1α3 −Φ1 dσ = 0. da cui 1 3 ρF1h+Φ1,1α1 +Φ2,1α2 +Φ3,1α3 −Φ1 = 0. (6.49) Passando ora al limite per h → 0 l’elemento dσ tende all’elemento superficiale passante per P avente la stessa normale ˆ N e Φ tende allo sforzo specifico relativo a tale elemento superficiale Φ(P,t, ˆ N). Si ottengono così le formule di Cauchy
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