Note del corso di Fisica Matematica A

More documents

Recommendations

Info

148 6 Cenni di meccanica dei continui deformabili Data poi la linearità delle relazioni (6.30, 6.31, 6.32), si può concludere che la deformazione più generale è ottenuta sovrapponendo sei deformazioni particolari corrispondenti alle singole γi,k e determinate quindi dalla sovrapposizione di tre dilatazioni parallele agli assi e da tre scorrimenti paralleli ai piani coordinati. Infine, poiché la matrice (γi,k) è simmetrica, ad essa corrisponde una quadrica di centro P per cui esistonosempretreassiprincipaliche,sepresicomeassicartesiani,permettonodiscriverel’equazione della quadrica stessa in forma canonica, cioè tale che γ1,2 = γ1,3 = γ2,3 = 0. Quindi si può concludere, in generale, che: Teorema 6.3 (Teorema di Helmotz). Ogni deformazione è data dalla sovrapposizione di tre dilatazioni (o compressioni) principali secondo tre direzioni opportune. 6.2.6 Dilatazione cubica La quantità γ = γ1,1 +γ2,2 +γ3,3 = ∂s1 ∂x1 + ∂s2 + ∂x2 ∂s3 ∂x3 = div s(P) (6.36) è detta invariante lineare di deformazione poiché si può dimostrare che esso non cambia per trasformazione di coordinate (infatti γ =tr(γi,j) coincide con la traccia del tensore di strain che è invariante per trasformazioni di coordinate). Per vederne il suo significato fisico consideriamo la terna costituita dagli assi principali passanti per P ed un parallelepipedo con gli spigoli ∆ξ1, ∆ξ2, ∆ξ3 paralleli agli assi principali; il suo volume vale ∆V = ∆ξ1 ·∆ξ2 ·∆ξ3. A seguito della deformazione che, per quanto si è detto, consiste solo di tre dilatazioni principali, si otterrà ancora un parallelepipedo di lati (1+γ1,1)∆ξ1, (1+γ2,2)∆ξ2, (1+γ3,3)∆ξ3, cioè di volume ∆V ⋆ = (1+γ1,1)·(1+γ2,2)·(1+γ3,3)·∆V. Ora, nel limite di piccole deformazioni possiamo trascurare i prodotti della γi,k rispetto all’unità ottenendo: ∆V ⋆ ≈ (1+γ1,1 +γ2,2 +γ3,3)∆V = (1+γ)∆V (6.37) e quindi γ ha il significato fisico di dilatazione cubica nel punto P. 6.3 Statica dei continui deformabili 6.3.1 Forze applicate e sforzi Passiamo ora in rassegna i vari tipi di forze che possono agire sui continui deformabili. Anzitutto possiamo distinguere le forze esterne, che nei casi concreti sono note in genere, in due tipi: i. forze di massa, agenti su ogni elemento di massa del corpo (ad esempio il peso); ii. forze superficiali, agenti su ogni elemento della superficie di contorno del corpo.
6.3 Statica dei continui deformabili 149 La forza di massa che agisce sull’elemento (infinitesimo) di massa dm centrato in P si ritiene proporzionale a dm stesso e si può esprimere con Fdm, dove F è un vettore finito dipendente, al solito,dallaposizionedelpuntoP,dallasuavelocitàedaltempo(instaticaassumiamoladipendenza di F solo dalla posizione di P). Detta poi ρ la densità materiale del corpo, la forza di massa può anche essere espressa da ρFdV, (6.38) essendo dV l’elemento (infinitesimo) di volume contenente dm. Analogamente la forza superficiale agente sull’elemento dσ si esprime con Φdσ, (6.39) dove Φ, forza per unità di superficie, è anch’esso un vettore finito. Ci sono poi le forze interne, generalmente incognite, dovute alla mutua azione delle particelle del corpo (pressione o tensione interna) e che preciseremo introducendo in concetto di sforzo interno. Gli sforzi interni sono dovuti a forze molecolari, cioé alla mutua interazione tra le molecole. Un fatto essenziale è che queste forze sono ”a corto raggio”, cioé esercitano la loro azione solo sui punti vicini; se ne consegue che le forze interne, con le quali una parte qualunque del corpo è sollecitata dalle parti contigue, agiscono solo direttamente attraverso la superficie di tale parte (questo è vero in generale; pur con qualche eccezione, ad es. i corpi piezoelettrici). Se immaginiamo di considerare all’interno del corpo un generico elemento superficiale dσ, centrato in un punto P del corpo, su cui fissiamo una faccia positiva e una negativa orientando il versore della normale ˆ N allora il sistema delle forze interne che le particelle del corpo situate dalla parte della faccia negativa esercitano sulle particelle situate dalla parte positiva sono in generale, come è noto, equivalenti a una coppia e a una forza. In quel che segue ammetteremo che tali forze interne siano equivalenti ad una sola forza (quando si tiene conto anche della coppia si parla di continui semiflessibili), proporzionale a dσ, detta sforzo sulla faccia negativa di dσ che indicheremo ancora con Φdσ, (6.40) dove Φ è un vettore finito, generalmente incognito, detto sforzo specifico nel punto P. Esso è funzione in generale, oltre che di P e t, anche di ˆ N: Φ = Φ(P,t, ˆ N). Se l’angolo tra Φ ed ˆ N è acuto si parla di Φ come di una pressione, se è ottuso di una tensione. Ovviamente le particelle situate dalla parte della faccia positiva esercitano sulle particelle situate dalla parte opposta uno sforzo uguale ed opposto, −Φdσ, per il principio di mutua azione. 6.3.2 Condizioni di equilibrio per i continui deformabili Come visto a suo tempo, condizione necessaria per l’equilibrio di un qualunque sistema meccanico è l’annullarsi del vettore risultante R e del momento risultante Ω di tutte le forze (esterne) attive e reattive. Tale condizione non è però, in generale sufficiente. Per i corpi deformabili ammettiamo il seguente postulato: Postulato fondamentale della statica dei mezzi continui: Se le condizioni R = 0 (6.41) Ω = 0
Page 1:
Fisica Matematica A 1 Marzo, 2013
Page 4 and 5:
VI Sommario 2.3.4 Esercizi.........
Page 6 and 7:
VIII Sommario 6 Cenni di meccanica
Page 8 and 9:
2 1 Calcolo Vettoriale Definizione
Page 10 and 11:
4 1 Calcolo Vettoriale — anti-com
Page 12 and 13:
6 1 Calcolo Vettoriale P(t)−O = x
Page 14 and 15:
8 1 Calcolo Vettoriale è invertibi
Page 17 and 18:
2 Cinematica Si dice Cinematica que
Page 19 and 20:
. . Fig. 2.1. La velocitá v é se
Page 21 and 22:
n . . t 2.1 Cinematica del pun
Page 23 and 24:
2.1 Cinematica del punto 17 Dimostr
Page 25 and 26:
2.1 Cinematica del punto 19 e la su
Page 27 and 28:
θ Fig. 2.4. Sistema biella-manove
Page 29 and 30:
2.2 Cinematica dei sistemi rigidi 2
Page 31 and 32:
2.2.3 Moti rotatori 2.2 Cinematica
Page 33 and 34:
2.2.5 Moti rigidi generali ed atti
Page 35 and 36:
Page 37 and 38:
Page 39 and 40:
Page 41 and 42:
Il moto assoluto di P è dato dalla
Page 43 and 44:
2.4 Cinematica dei sistemi 37 Duran
Page 45 and 46:
2.4 Cinematica dei sistemi 39 iv.Pe
Page 47 and 48:
2.4 Cinematica dei sistemi 41 Defin
Page 49 and 50:
γ δ . δ σ π 2.4 Cinematica d
Page 51:
2.4 Cinematica dei sistemi 45 Da ci
Page 54 and 55:
48 3 Generalità sui sistemi e gran
Page 56 and 57:
Page 58 and 59:
Page 60 and 61:
Page 62 and 63:
Page 64 and 65:
Page 66 and 67:
Page 68 and 69:
Page 70 and 71:
Page 72 and 73:
Page 74 and 75:
Page 76 and 77:
Page 79 and 80:
4 Statica 4.1 Statica del punto e a
Page 81 and 82:
φ . φ σ 4.1 Statica del punt
Page 83 and 84:
4.2 Equazioni cardinali della stati
Page 85 and 86:
Teorema 4.8. Quando R = 0 e l’inv
Page 87 and 88:
Page 89 and 90:
Page 91 and 92:
Page 93 and 94:
Page 95 and 96:
4.3 Principio dei lavori virtuali e
Page 97 and 98:
δρ = φ1 ·δP1 +φ2 ·δP2 = φ1
Page 99 and 100:
4.3 Principio dei lavori virtuali e
Page 101 and 102:
Quindi, si conclude o equivalenteme
Page 103 and 104: 4.3.5 Esempi Punto P vincolato a mu
Page 105 and 106: 4.4 Nozione di stabilità dell’eq
Page 107 and 108: 4.5 Statica relativa 101 In virtù
Page 109: 4.5 Statica relativa 103 dovuto all
Page 112 and 113: 106 5 Dinamica: equazioni differenz
Page 140 and 141: 134 6 Cenni di meccanica dei contin
Page 163 and 164: 7 Esercizi tratti da prove d’esam
Page 175 and 176: A Appendice A.1 Cenni sull’attraz
Page 177: A.1.3 Attrazione di una corona sfer
show all

Note del corso di Fisica Matematica A

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?