Note del corso di Fisica Matematica A
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6.3 Statica dei continui deformabili 149<br />
La forza <strong>di</strong> massa che agisce sull’elemento (infinitesimo) <strong>di</strong> massa dm centrato in P si ritiene<br />
proporzionale a dm stesso e si può esprimere con Fdm, dove F è un vettore finito <strong>di</strong>pendente, al<br />
solito,dallaposizione<strong>del</strong>puntoP,dallasuavelocitàedaltempo(instaticaassumiamola<strong>di</strong>pendenza<br />
<strong>di</strong> F solo dalla posizione <strong>di</strong> P). Detta poi ρ la densità materiale <strong>del</strong> corpo, la forza <strong>di</strong> massa può<br />
anche essere espressa da<br />
ρFdV, (6.38)<br />
essendo dV l’elemento (infinitesimo) <strong>di</strong> volume contenente dm. Analogamente la forza superficiale<br />
agente sull’elemento dσ si esprime con<br />
Φdσ, (6.39)<br />
dove Φ, forza per unità <strong>di</strong> superficie, è anch’esso un vettore finito.<br />
Ci sono poi le forze interne, generalmente incognite, dovute alla mutua azione <strong>del</strong>le particelle <strong>del</strong><br />
corpo (pressione o tensione interna) e che preciseremo introducendo in concetto <strong>di</strong> sforzo interno.<br />
Gli sforzi interni sono dovuti a forze molecolari, cioé alla mutua interazione tra le molecole. Un fatto<br />
essenziale è che queste forze sono ”a corto raggio”, cioé esercitano la loro azione solo sui punti vicini;<br />
se ne consegue che le forze interne, con le quali una parte qualunque <strong>del</strong> corpo è sollecitata dalle parti<br />
contigue, agiscono solo <strong>di</strong>rettamente attraverso la superficie <strong>di</strong> tale parte (questo è vero in generale;<br />
pur con qualche eccezione, ad es. i corpi piezoelettrici). Se immaginiamo <strong>di</strong> considerare all’interno<br />
<strong>del</strong> corpo un generico elemento superficiale dσ, centrato in un punto P <strong>del</strong> corpo, su cui fissiamo<br />
una faccia positiva e una negativa orientando il versore <strong>del</strong>la normale ˆ N allora il sistema <strong>del</strong>le forze<br />
interne che le particelle <strong>del</strong> corpo situate dalla parte <strong>del</strong>la faccia negativa esercitano sulle particelle<br />
situate dalla parte positiva sono in generale, come è noto, equivalenti a una coppia e a una forza. In<br />
quel che segue ammetteremo che tali forze interne siano equivalenti ad una sola forza (quando si<br />
tiene conto anche <strong>del</strong>la coppia si parla <strong>di</strong> continui semiflessibili), proporzionale a dσ, detta sforzo<br />
sulla faccia negativa <strong>di</strong> dσ che in<strong>di</strong>cheremo ancora con<br />
Φdσ, (6.40)<br />
dove Φ è un vettore finito, generalmente incognito, detto sforzo specifico nel punto P. Esso è<br />
funzione in generale, oltre che <strong>di</strong> P e t, anche <strong>di</strong> ˆ N: Φ = Φ(P,t, ˆ N). Se l’angolo tra Φ ed ˆ N è acuto<br />
si parla <strong>di</strong> Φ come <strong>di</strong> una pressione, se è ottuso <strong>di</strong> una tensione. Ovviamente le particelle situate<br />
dalla parte <strong>del</strong>la faccia positiva esercitano sulle particelle situate dalla parte opposta uno sforzo<br />
uguale ed opposto, −Φdσ, per il principio <strong>di</strong> mutua azione.<br />
6.3.2 Con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> equilibrio per i continui deformabili<br />
Come visto a suo tempo, con<strong>di</strong>zione necessaria per l’equilibrio <strong>di</strong> un qualunque sistema meccanico<br />
è l’annullarsi <strong>del</strong> vettore risultante R e <strong>del</strong> momento risultante Ω <strong>di</strong> tutte le forze (esterne) attive e<br />
reattive. Tale con<strong>di</strong>zione non è però, in generale sufficiente. Per i corpi deformabili ammettiamo il<br />
seguente postulato:<br />
Postulato fondamentale <strong>del</strong>la statica dei mezzi continui: Se le con<strong>di</strong>zioni<br />
<br />
R = 0<br />
(6.41)<br />
Ω = 0