Note del corso di Fisica Matematica A

148 6 Cenni di meccanica dei continui deformabili
Data poi la linearità delle relazioni (6.30, 6.31, 6.32), si può concludere che la deformazione più
generale è ottenuta sovrapponendo sei deformazioni particolari corrispondenti alle singole
γi,k e determinate quindi dalla sovrapposizione di tre dilatazioni parallele agli assi e da
tre scorrimenti paralleli ai piani coordinati.
Infine, poiché la matrice (γi,k) è simmetrica, ad essa corrisponde una quadrica di centro P per cui
esistonosempretreassiprincipaliche,sepresicomeassicartesiani,permettonodiscriverel’equazione
della quadrica stessa in forma canonica, cioè tale che γ1,2 = γ1,3 = γ2,3 = 0. Quindi si può concludere,
in generale, che:
Teorema 6.3 (Teorema di Helmotz). Ogni deformazione è data dalla sovrapposizione di tre
dilatazioni (o compressioni) principali secondo tre direzioni opportune.
6.2.6 Dilatazione cubica
La quantità
γ = γ1,1 +γ2,2 +γ3,3 = ∂s1
∂x1
+ ∂s2
+
∂x2
∂s3
∂x3
= div s(P) (6.36)
è detta invariante lineare di deformazione poiché si può dimostrare che esso non cambia per
trasformazione di coordinate (infatti γ =tr(γi,j) coincide con la traccia del tensore di strain che è
invariante per trasformazioni di coordinate). Per vederne il suo significato fisico consideriamo la
terna costituita dagli assi principali passanti per P ed un parallelepipedo con gli spigoli ∆ξ1, ∆ξ2,
∆ξ3 paralleli agli assi principali; il suo volume vale
∆V = ∆ξ1 ·∆ξ2 ·∆ξ3.
A seguito della deformazione che, per quanto si è detto, consiste solo di tre dilatazioni principali, si
otterrà ancora un parallelepipedo di lati (1+γ1,1)∆ξ1, (1+γ2,2)∆ξ2, (1+γ3,3)∆ξ3, cioè di volume
∆V ⋆ = (1+γ1,1)·(1+γ2,2)·(1+γ3,3)·∆V.
Ora, nel limite di piccole deformazioni possiamo trascurare i prodotti della γi,k rispetto all’unità
ottenendo:
∆V ⋆ ≈ (1+γ1,1 +γ2,2 +γ3,3)∆V = (1+γ)∆V (6.37)
e quindi γ ha il significato fisico di dilatazione cubica nel punto P.
6.3 Statica dei continui deformabili
6.3.1 Forze applicate e sforzi
Passiamo ora in rassegna i vari tipi di forze che possono agire sui continui deformabili. Anzitutto
possiamo distinguere le forze esterne, che nei casi concreti sono note in genere, in due tipi:
i. forze di massa, agenti su ogni elemento di massa del corpo (ad esempio il peso);
ii. forze superficiali, agenti su ogni elemento della superficie di contorno del corpo.