Note del corso di Fisica Matematica A
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6.2.5 Analisi <strong>del</strong>lo strain<br />
6.2 Cinematica dei continui deformabili 147<br />
Le componenti γi,k <strong>del</strong>lo strain hanno un notevole significato fisico. Per stu<strong>di</strong>arlo in maggiore dettaglio<br />
supponiamo, per semplicitá, nullo lo spostamento rigido <strong>del</strong>l’intorno <strong>di</strong> P e trascuriamo ora i<br />
resti <strong>del</strong> tipo O(|ξ| 2 ), per cui si avrà semplicemente<br />
s1(Q) = γ1,1ξ1 +γ1,2ξ2 +γ1,3ξ3; (6.30)<br />
s2(Q) = γ2,1ξ1 +γ2,2ξ2 +γ2,3ξ3; (6.31)<br />
s3(Q) = γ3,1ξ1 +γ3,2ξ2 +γ3,3ξ3. (6.32)<br />
Consideriamo poi quella particolare deformazione caratterizzata da γi,k = 0 per i,k = 1 (e con<br />
γ1,1 = 0). Il corrispondente spostamento s(Q) avrà le seguenti componenti<br />
s1(Q) = γ1,1ξ1, s2(Q) = s3(Q) = 0 (6.33)<br />
e perciò il punto Q(ξ1,ξ2,ξ3) <strong>del</strong>lo stato naturale passa nel punto Q ⋆ <strong>del</strong>la configurazione deformata<br />
<strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate<br />
ξ ⋆ 1 = (1+γ1,1)ξ1, ξ ⋆ 2 = ξ2, ξ ⋆ 3 = ξ3, (6.34)<br />
ossia si sposta parallelamente all’asse ξ1 (e all’asse x1) <strong>del</strong>la quantità γ1,1ξ1. Ciò significa che tutti i<br />
segmenti paralleli all’asse x1 si <strong>di</strong>latano <strong>del</strong> rapporto 1+γ1,1 mentre quelli ortogonali a x1 restano<br />
invariati; la corrispondente deformazione è allora una pura <strong>di</strong>latazione (nel caso in cui γ11 > 0,<br />
altrimenti se γ11 < 0 é una contrazione) parallela all’asse x1 e γ1,1 viene detto il coefficiente <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>latazione lineare secondo l’asse x1 nel punto P. Analogamente γ2,2, γ3,3 sono i coefficienti <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>latazione lineare secondo x2, x3 nel punto P.<br />
Consideriamo ora una deformazione caratterizzata da<br />
tutte le γi,k = 0 eccetto γ2,3 e γ3,2. Gli spostamenti corrispondenti<br />
sono<br />
s1(Q) = 0, s2(Q) = γ2,3ξ3, s3(Q) = γ3,2ξ2, γ3,2 = γ2,3. (6.35)<br />
Da qui si vede che Q si sposta in un piano perpen<strong>di</strong>colare<br />
all’asseξ1 (ox1)echeilsuospostamentonon<strong>di</strong>pendedaξ1;<br />
possiamo quin<strong>di</strong> limitarci a stu<strong>di</strong>are il fenomeno nel piano<br />
(ξ2,ξ3). In questo caso i punti A <strong>del</strong>l’asse ξ2 (cioé ξ1 =<br />
ξ3 = 0) appartenenti all’intorno <strong>di</strong> P si spostano nei punti<br />
A ⋆ (ξ1,ξ2,ξ3 = γ3,2ξ2), cioé sulla retta <strong>di</strong> equazione ξ3 =<br />
γ3,2ξ2 passante per P e <strong>di</strong> coefficiente angolare<br />
γ3,2 = ξ3<br />
ξ2<br />
= tan α ∼ α.<br />
<br />
ξ <br />
α<br />
Fig. 6.6. Scorrimento.<br />
Similmente i punti <strong>del</strong>l’asse ξ3 si portano sulla retta ξ2 = γ2,3ξ3 inclinata rispetto all’asse ξ3 <strong>di</strong> un<br />
uguale angolo α. Si può allora <strong>di</strong>re che 2γ2,3 rappresenta la variazione che subisce, per effetto <strong>del</strong>la<br />
deformazione, l’angolo formato dagli assi ξ2, ξ3 uscenti da P. Una tale deformazione si chiama uno<br />
scorrimento parallelo al piano ξ2, ξ3. Analogamente per γ1,2 e γ1,3, per cui le γi,k con i = k si<br />
<strong>di</strong>cono coefficienti <strong>di</strong> scorrimento.<br />
ξ