Note del corso di Fisica Matematica A

6.2.5 Analisi dello strain
6.2 Cinematica dei continui deformabili 147
Le componenti γi,k dello strain hanno un notevole significato fisico. Per studiarlo in maggiore dettaglio
supponiamo, per semplicitá, nullo lo spostamento rigido dell’intorno di P e trascuriamo ora i
resti del tipo O(|ξ| 2 ), per cui si avrà semplicemente
s1(Q) = γ1,1ξ1 +γ1,2ξ2 +γ1,3ξ3; (6.30)
s2(Q) = γ2,1ξ1 +γ2,2ξ2 +γ2,3ξ3; (6.31)
s3(Q) = γ3,1ξ1 +γ3,2ξ2 +γ3,3ξ3. (6.32)
Consideriamo poi quella particolare deformazione caratterizzata da γi,k = 0 per i,k = 1 (e con
γ1,1 = 0). Il corrispondente spostamento s(Q) avrà le seguenti componenti
s1(Q) = γ1,1ξ1, s2(Q) = s3(Q) = 0 (6.33)
e perciò il punto Q(ξ1,ξ2,ξ3) dello stato naturale passa nel punto Q ⋆ della configurazione deformata
di coordinate
ξ ⋆ 1 = (1+γ1,1)ξ1, ξ ⋆ 2 = ξ2, ξ ⋆ 3 = ξ3, (6.34)
ossia si sposta parallelamente all’asse ξ1 (e all’asse x1) della quantità γ1,1ξ1. Ciò significa che tutti i
segmenti paralleli all’asse x1 si dilatano del rapporto 1+γ1,1 mentre quelli ortogonali a x1 restano
invariati; la corrispondente deformazione è allora una pura dilatazione (nel caso in cui γ11 > 0,
altrimenti se γ11 < 0 é una contrazione) parallela all’asse x1 e γ1,1 viene detto il coefficiente di
dilatazione lineare secondo l’asse x1 nel punto P. Analogamente γ2,2, γ3,3 sono i coefficienti di
dilatazione lineare secondo x2, x3 nel punto P.
Consideriamo ora una deformazione caratterizzata da
tutte le γi,k = 0 eccetto γ2,3 e γ3,2. Gli spostamenti corrispondenti
sono
s1(Q) = 0, s2(Q) = γ2,3ξ3, s3(Q) = γ3,2ξ2, γ3,2 = γ2,3. (6.35)
Da qui si vede che Q si sposta in un piano perpendicolare
all’asseξ1 (ox1)echeilsuospostamentonondipendedaξ1;
possiamo quindi limitarci a studiare il fenomeno nel piano
(ξ2,ξ3). In questo caso i punti A dell’asse ξ2 (cioé ξ1 =
ξ3 = 0) appartenenti all’intorno di P si spostano nei punti
A ⋆ (ξ1,ξ2,ξ3 = γ3,2ξ2), cioé sulla retta di equazione ξ3 =
γ3,2ξ2 passante per P e di coefficiente angolare
γ3,2 = ξ3
ξ2
= tan α ∼ α.
ξ
α
Fig. 6.6. Scorrimento.
Similmente i punti dell’asse ξ3 si portano sulla retta ξ2 = γ2,3ξ3 inclinata rispetto all’asse ξ3 di un
uguale angolo α. Si può allora dire che 2γ2,3 rappresenta la variazione che subisce, per effetto della
deformazione, l’angolo formato dagli assi ξ2, ξ3 uscenti da P. Una tale deformazione si chiama uno
scorrimento parallelo al piano ξ2, ξ3. Analogamente per γ1,2 e γ1,3, per cui le γi,k con i = k si
dicono coefficienti di scorrimento.
ξ