Note del corso di Fisica Matematica A

146 6 Cenni di meccanica dei continui deformabili
tenendo presente l’identità
e ponendo
e
le (6.23) forniscono
αi,k = ∂si
∂xk
P
, i,k = 1,2,3,
αi,k = 1
2 (αi,k +αk,i)+ 1
2 (αi,k −αk,i)
γi,k = γk,i = 1
2 (αi,k +αk,i) = 1
∂si
2 ∂xk
R1 = α3,2 −α3,2
2
, R2 = α1,3 −α3,1
2
+ ∂sk
, i,k = 1,2,3, (6.24)
∂xi P
, R3 = α2,1 −α1,2
. (6.25)
2
s1(Q) = s1(P)+(γ1,1ξ1 +γ1,2ξ2 +γ1,3ξ3)+(−R3ξ2 +R2ξ3)+O(|ξ| 2 );
s2(Q) = s2(P)+(γ2,1ξ1 +γ2,2ξ2 +γ2,3ξ3)+(R3ξ1 −R1ξ3)+O(|ξ| 2 );
s3(Q) = s3(P)+(γ3,1ξ1 +γ3,2ξ2 +γ3,3ξ3)+(−R2ξ1 +R1ξ2)+O(|ξ| 2 ).
Sinteticamente queste possono essere scritte
dove le componenti di d sono
e il vettore r vale
s(Q) = s(P)+d+r+O(|P −Q| 2 ) (6.26)
di =
3
γi,kξk, i = 1,2,3, (6.27)
k=1
r = R×(Q−P) = det
⎛ ⎞
ê1 ê2 ê3
⎜ ⎟
⎝R1
R2 R3⎠
(6.28)
ξ1 ξ2 ξ3
essendo R il vettore di componenti (R1,R2,R3).
Osserviamoorachedeitreterminiincui,inbasealla(6.26)èstatodecompostos(Q),ilprimos(P)
rappresenta una traslazione (essendo uguale per tutti i punti Q dell’intorno considerato), il terzo
r rappresenta, per la (6.28), una rotazione individuata dal vettore velocitá angolare (P,R),
e quindi s(P)+r rappresenta un atto di moto rigido rototraslatorio di tutto l’intorno di P
considerato. Allorala(6.26)cidiceche,amenoditerminiinfinitesimidiordine2,lo spostamento
del generico punto Q è composto da uno spostamento rigido e da uno spostamento d nel
quale interviene la deformazione. Dalle (6.27) poi appare che d è il risultato dell’applicazione
di un operatore lineare T sul vettore Q−P, cioé
d = T(Q−P) (6.29)
tale operatore lineare (detto anche omografia o tensore), analiticamente definito dalla matrice
simmetrica (γi,k), con γi,k = γk,i, è noto come il tensore delle deformazioni o strain. Poiché la
matrice è simmetrica segue che il tensore è simmetrico.