Note del corso di Fisica Matematica A
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146 6 Cenni <strong>di</strong> meccanica dei continui deformabili<br />
tenendo presente l’identità<br />
e ponendo<br />
e<br />
le (6.23) forniscono<br />
αi,k = ∂si<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
∂xk<br />
P<br />
, i,k = 1,2,3,<br />
αi,k = 1<br />
2 (αi,k +αk,i)+ 1<br />
2 (αi,k −αk,i)<br />
γi,k = γk,i = 1<br />
2 (αi,k +αk,i) = 1<br />
<br />
∂si<br />
2 ∂xk<br />
R1 = α3,2 −α3,2<br />
2<br />
, R2 = α1,3 −α3,1<br />
2<br />
+ ∂sk<br />
<br />
, i,k = 1,2,3, (6.24)<br />
∂xi P<br />
, R3 = α2,1 −α1,2<br />
. (6.25)<br />
2<br />
s1(Q) = s1(P)+(γ1,1ξ1 +γ1,2ξ2 +γ1,3ξ3)+(−R3ξ2 +R2ξ3)+O(|ξ| 2 );<br />
s2(Q) = s2(P)+(γ2,1ξ1 +γ2,2ξ2 +γ2,3ξ3)+(R3ξ1 −R1ξ3)+O(|ξ| 2 );<br />
s3(Q) = s3(P)+(γ3,1ξ1 +γ3,2ξ2 +γ3,3ξ3)+(−R2ξ1 +R1ξ2)+O(|ξ| 2 ).<br />
Sinteticamente queste possono essere scritte<br />
dove le componenti <strong>di</strong> d sono<br />
e il vettore r vale<br />
s(Q) = s(P)+d+r+O(|P −Q| 2 ) (6.26)<br />
<strong>di</strong> =<br />
3<br />
γi,kξk, i = 1,2,3, (6.27)<br />
k=1<br />
r = R×(Q−P) = det<br />
⎛ ⎞<br />
ê1 ê2 ê3<br />
⎜ ⎟<br />
⎝R1<br />
R2 R3⎠<br />
(6.28)<br />
ξ1 ξ2 ξ3<br />
essendo R il vettore <strong>di</strong> componenti (R1,R2,R3).<br />
Osserviamoorachedeitreterminiincui,inbasealla(6.26)èstatodecompostos(Q),ilprimos(P)<br />
rappresenta una traslazione (essendo uguale per tutti i punti Q <strong>del</strong>l’intorno considerato), il terzo<br />
r rappresenta, per la (6.28), una rotazione in<strong>di</strong>viduata dal vettore velocitá angolare (P,R),<br />
e quin<strong>di</strong> s(P)+r rappresenta un atto <strong>di</strong> moto rigido rototraslatorio <strong>di</strong> tutto l’intorno <strong>di</strong> P<br />
considerato. Allorala(6.26)ci<strong>di</strong>ceche,ameno<strong>di</strong>terminiinfinitesimi<strong>di</strong>or<strong>di</strong>ne2,lo spostamento<br />
<strong>del</strong> generico punto Q è composto da uno spostamento rigido e da uno spostamento d nel<br />
quale interviene la deformazione. Dalle (6.27) poi appare che d è il risultato <strong>del</strong>l’applicazione<br />
<strong>di</strong> un operatore lineare T sul vettore Q−P, cioé<br />
d = T(Q−P) (6.29)<br />
tale operatore lineare (detto anche omografia o tensore), analiticamente definito dalla matrice<br />
simmetrica (γi,k), con γi,k = γk,i, è noto come il tensore <strong>del</strong>le deformazioni o strain. Poiché la<br />
matrice è simmetrica segue che il tensore è simmetrico.