Note del corso di Fisica Matematica A

6.2 Cinematica dei continui deformabili 145
Se il fluido è incomprimibile (e omogeneo) la sua densità ρ è costante e l’equazione di continuità
diventa
div v = 0;
cioé la velocità è un campo vettoriale a divergenza nulla. Questi campi vettoriali a divergenza
nulla si dicono campi solenoidali.
6.2.4 Spostamenti e piccole deformazioni
ξ
ξ 3
.
.
ξ
Fig. 6.5. Deformazione della porzione C del continuo.
Cominciamo con una analisi puramente cinematica, cioé indipendentemente dalle forze che lo
producono, delle piccole deformazioni di un mezzo continuo. A tale scopo ci riferiamo ad un
sistema cartesiano (O;x 1,x 2,x 3) ed indichiamo con P(x1,x2,x3) un generico punto del mezzo nello
stato naturale C (cioé in assenza di deformazioni), e con P ⋆ la posizione di P nella generica
configurazione deformata C ⋆ . Denoteremo con s(P) = P ⋆ − P la funzione spostamento del punto
P e con si(P) le sue componenti cartesiane. Studiamo ora la distribuzione degli spostamenti in
un intorno V di P introducendo un sistema di riferimento cartesiano (P;ξ 1,ξ 2,ξ 3) con origine in P
ed assi paralleli rispettivamente a x1,x2,x3. Sia poi Q = Q(ξ 1,ξ 2,ξ 3) un generico punto del detto
intorno V e s(Q) = Q ⋆ −Q lo spostamento di Q dello stato naturale C alla configurazione deformata
C ⋆ . Le componenti cartesiane si(Q) sono funzioni delle coordinate di Q rispetto ad O e cioè di xi+ξi
e potranno essere sviluppate in serie di Taylor di punto iniziale P, trascurando gli infinitesimi di
ordine superiore al primo ordine nelle ξi, ottenendo
si(Q) = si(xj +ξj) (6.23)
∂si ∂si ∂si
= si(P)+ ξ1 + ξ2 + ξ3 +O(|ξ|
∂x1 ∂x2 ∂x3
2 )
P
dove O(|ξ| 2 ) denota un infinitesimo del secondo ordine per |ξ| piccolo (che nel seguito trascuriamo)
e dove assumiamo si regolare (ad esempio di classe C 2 (R)). Ponendo
P
P
.
.