Note del corso di Fisica Matematica A

144 6 Cenni di meccanica dei continui deformabili
Equazione di continuitá
Fig. 6.4. Flusso di un fluido attraverso una superficie.
Sia σ una superficie chiusa, fissa e regolare qualunque racchiudente un volume S, la massa contenuta
in essa sarà
SρdS funzione, in generale, del tempo essendo tale la densità ρ. Il suo incremento
nell’unità del tempo sarà ∂ρ
S ∂tdS mentre, se ˆ N è la normale esterna, per la (6.19), la quantitá di
massa entrante nell’unità di tempo, sarà −
σρvNdσ. Uguagliando queste due relazioni si ottiene la
seguente
S
σ
∂ρ
dS + ρvNdσ = 0 (6.20)
∂t σ
che deve valere per qualunque volume S interno al fluido. Facendo uso del teorema della divergenza
segue che 1
S
∂ρ
∂t
+div (ρv)
dS = 0
che dovendo valere per ogni S dovrà essere in ogni punto (assumendo la funzione integranda continua
su tutto R 3 in ogni istante)
∂ρ
∂t
+div (ρv) = 0. (6.21)
Questa equazione prende il nome di equazione di continuità (dal punto di vista euleriano).
Poiché div (ρv) = ρdiv v+v·∇ρ segue che la (6.21) assume la seguente forma (lagrangiana)
in virtú delle (6.18).
dρ
dt
+ρ div v = 0 (6.22)
1 Dato un generico vettore v di componenti (v1,v2,v3) si denota con divergenza di v, e si denota div v, la grandezza scalare
∂v1 ∂v2 ∂v3 + + ∂x1 ∂x2 ∂x3 .