Note del corso di Fisica Matematica A

vi.verificare che non vale la proprietà associativa per i vettori a, b, c:
a×(b×c) = (a×b)×c;
vii.essendo a e b ortogonali, trovare un vettore e tale che:
Esercizio 1.2: Siano dati i vettori:
si domanda:
i. dimostrare che sono tra loro ortogonali;
ii. trovare un vettore c0 tale che:
iii.trovare un vettore c di modulo uno tale che:
b = e×a.
a = 2î+3ˆj− ˆ k, b = −2î+ˆj− ˆ k,
b = c0 ×a;
b = c×a.
1.1 Operazioni sui vettori 9
Esercizio 1.3: Determinare in R 3 l’equazione della retta individuata da 2 punti P1 e P2 distinti.
Esercizio 1.4: Determinare in R 3 l’equazione del piano individuato da 3 punti P1, P2 e P3 distinti
e non allineati.
Esercizio 1.5: Determinare in R 3 l’equazione del piano tangente ad una superficie regolare, di
equazione f(x,y,z) = 0 per data f : R 3 → R, in un suo punto P0.
Esercizio 1.6: Introdurre una rappresentazione parametrica normale
s → (x(s),y(s),z(s)), [x ′ (s)] 2 +[y ′ (s)] 2 +[z ′ (s)] 2 ≡ 1,
della circonferenza di raggio R e poi determinarne il raggio di curvatura mediante la formula
ρc =
1
[x ′′ (s)] 2 +[y ′′ (s)] 2 +[z ′′ (s)] 2
dove
′ = d
ds .
Esercizio 1.7: Data una curva regolare γ, contenuta nel piano (O;x,y) e avente rappresentazione
cartesianay = f(x),perunaf : R → Rdata,provarecheilraggiodicurvaturapuòesseredeterminato
dalla formula
1+
ρc =
df
2 3/2
dx
;
d2f dx2 Facendo poi uso di questa formula calcolare nuovamente il raggio di curvatura della circonferenza di
raggio R.