Note del corso di Fisica Matematica A
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Derivata sostanziale e derivata locale<br />
6.2 Cinematica dei continui deformabili 143<br />
Corrispondentemente ad qualsiasi grandezza fisica f = f(x1,x2,x3,t) si hanno due tipi <strong>di</strong> derivate<br />
rispetto al tempo, secondo che si consideri la variazione <strong>di</strong> f per una determinata particella, e quin<strong>di</strong><br />
tenendo costanti x 0 1,x 0 2,x 0 3 e pensando x1,x2,x3 variabili nel tempo secondo la (6.15) ottenendo<br />
f = f[xi(x 0 j;t),t],<br />
o per un dato punto <strong>del</strong>lo spazio, e quin<strong>di</strong> tenendo costanti x1,x2,x3 ottenendo<br />
f = f(xi,t).<br />
La prima derivata, detta sostanziale, si denota con df<br />
; la seconda derivata, detta locale, si denota<br />
dt<br />
con ∂f<br />
∂t .<br />
Per trovare la relazione tra le due derivate si osserva che la derivata sostanziale vale<br />
df ∂f ∂f ∂f ∂f<br />
= + ˙x1 + ˙x2 + ˙x3<br />
dt ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3<br />
= ∂f<br />
∂t +v1<br />
∂f ∂f ∂f<br />
+v2 +v3 =<br />
∂x1 ∂x2 ∂x3<br />
∂f<br />
+v·∇f (6.18)<br />
∂t<br />
dove ∇f è il vettore <strong>di</strong> componenti ∂f ∂f ∂f<br />
, , ∂x1 ∂x2 ∂x3<br />
6.2.3 Equazioni <strong>di</strong> continuità<br />
Moti stazionari<br />
calcolate in (x1(t),x2(t),x3(t)).<br />
Definizione 6.1. Si chiama moto stazionario il moto <strong>di</strong> un mezzo quando, da un punto <strong>di</strong> vista<br />
locale, la velocità v è costante rispetto al tempo:<br />
∂v1 ∂v2 ∂v3<br />
= = = 0.<br />
∂t ∂t ∂t<br />
Cioé in un qualsiasi punto <strong>del</strong>lo spazio la velocità <strong>del</strong> mezzo non varia in grandezza né in <strong>di</strong>rezione<br />
con il tempo.<br />
Flusso <strong>di</strong> un fluido<br />
Sia assegnata, nello spazio occupato da un fluido in movimento, una superficie regolare σ fissa e su<br />
<strong>di</strong> essa assegniamo, ad arbitrio, un verso positivo per la normale ˆ N. Si chiama flusso <strong>del</strong> fluido<br />
attraverso la superficie σ la massa <strong>di</strong> fluido che l’attraversa, per unità <strong>di</strong> tempo. Se la superficie σ<br />
è chiusa allora si chiama flusso uscente il flusso calcolato orientando la normale verso l’esterno, e<br />
flusso entrante quello calcolato con la convenzione opposta. Si ha che:<br />
Teorema 6.2. Sia σ una superficie chiusa non normale ˆ N uscente, sia v la velocità che hanno le<br />
particelle nell’attraversare σ e sia ρ la densità <strong>del</strong> fluido; allora il flusso Ψ uscente attraverso la<br />
superficie σ in una unità <strong>di</strong> tempo è dato da<br />
<br />
Ψ = ρvNdσ, vN = v· ˆ N. (6.19)<br />
σ<br />
Dimostrazione. Infatti, fissato l’elemento <strong>di</strong> superficie infinitesimo dσ, la quantitá <strong>di</strong> fluido che attraversa<br />
σ nell’unitá <strong>di</strong> tempo sará dato dalla massa (infinitesima) ρdσ moltiplicata per la velocitá<br />
<strong>di</strong> queste particelle normale alla superficie. Sommando rispetto a tutti i contributi infinitesimi si<br />
ottiene la (6.19).