Note del corso di Fisica Matematica A

Derivata sostanziale e derivata locale
6.2 Cinematica dei continui deformabili 143
Corrispondentemente ad qualsiasi grandezza fisica f = f(x1,x2,x3,t) si hanno due tipi di derivate
rispetto al tempo, secondo che si consideri la variazione di f per una determinata particella, e quindi
tenendo costanti x 0 1,x 0 2,x 0 3 e pensando x1,x2,x3 variabili nel tempo secondo la (6.15) ottenendo
f = f[xi(x 0 j;t),t],
o per un dato punto dello spazio, e quindi tenendo costanti x1,x2,x3 ottenendo
f = f(xi,t).
La prima derivata, detta sostanziale, si denota con df
; la seconda derivata, detta locale, si denota
dt
con ∂f
∂t .
Per trovare la relazione tra le due derivate si osserva che la derivata sostanziale vale
df ∂f ∂f ∂f ∂f
= + ˙x1 + ˙x2 + ˙x3
dt ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3
= ∂f
∂t +v1
∂f ∂f ∂f
+v2 +v3 =
∂x1 ∂x2 ∂x3
∂f
+v·∇f (6.18)
∂t
dove ∇f è il vettore di componenti ∂f ∂f ∂f
, , ∂x1 ∂x2 ∂x3
6.2.3 Equazioni di continuità
Moti stazionari
calcolate in (x1(t),x2(t),x3(t)).
Definizione 6.1. Si chiama moto stazionario il moto di un mezzo quando, da un punto di vista
locale, la velocità v è costante rispetto al tempo:
∂v1 ∂v2 ∂v3
= = = 0.
∂t ∂t ∂t
Cioé in un qualsiasi punto dello spazio la velocità del mezzo non varia in grandezza né in direzione
con il tempo.
Flusso di un fluido
Sia assegnata, nello spazio occupato da un fluido in movimento, una superficie regolare σ fissa e su
di essa assegniamo, ad arbitrio, un verso positivo per la normale ˆ N. Si chiama flusso del fluido
attraverso la superficie σ la massa di fluido che l’attraversa, per unità di tempo. Se la superficie σ
è chiusa allora si chiama flusso uscente il flusso calcolato orientando la normale verso l’esterno, e
flusso entrante quello calcolato con la convenzione opposta. Si ha che:
Teorema 6.2. Sia σ una superficie chiusa non normale ˆ N uscente, sia v la velocità che hanno le
particelle nell’attraversare σ e sia ρ la densità del fluido; allora il flusso Ψ uscente attraverso la
superficie σ in una unità di tempo è dato da
Ψ = ρvNdσ, vN = v· ˆ N. (6.19)
σ
Dimostrazione. Infatti, fissato l’elemento di superficie infinitesimo dσ, la quantitá di fluido che attraversa
σ nell’unitá di tempo sará dato dalla massa (infinitesima) ρdσ moltiplicata per la velocitá
di queste particelle normale alla superficie. Sommando rispetto a tutti i contributi infinitesimi si
ottiene la (6.19).