Note del corso di Fisica Matematica A

142 6 Cenni di meccanica dei continui deformabili
J(P;0) = det
⎛ ⎞
1 0 0
⎜ ⎟
⎝0
1 0⎠
= 1, (6.14)
0 0 1
per continuità risulta J(P;t) > 0 in un conveniente intorno di t = 0 e, quindi, anche per qualunque
t data l’arbitrarietà della scelta dell’istante iniziale.
6.2.2 Punto di vista lagrangiano ed euleriano
Punto di vista lagrangiano (o sostanziale)
Le equazioni (6.12)
xi = xi(x 0 1,x 0 2,x 0 3;t), (6.15)
fissato P0, sono le equazioni lagrangiane del moto della particella P individuata dalla posizione
P0 nella configurazione C0, o, se si vuole, delle x 0 1,x 0 2,x 0 3 costanti rispetto al tempo. Le variabili
xi, rispetto a t, si prestano a descrivere il moto particella per particella: per seguire una
particella basta fissare P0 in C0, ovvero le x 0 i, e far variare t. Cosí , ad esempio, la funzione vettoriale
di t e P0:
di componenti
v = ∂P
∂t = v(x0 i;t)
˙xi = ∂xi
∂t (x0 1,x 0 2,x 0 3;t) (6.16)
dà, in funzione di t, la velocità all’istante t della generica particella che si trovava in P0 per t = t0.
Analogamente
di componenti
a = a(x 0 i;t) = ∂v
∂t (x0i;t) = ∂2P ∂t2 ¨xi = ∂2 xi
∂t 2 (x0 1,x 0 2,x 0 3;t) (6.17)
ne dà la accelerazione. Questo è il punto di vista lagrangiano o sostanziale.
Punto di vista euleriano (o locale)
Il moto di un mezzo continuo si può studiare, oltre che seguendo una determinata particella (detto
punto di vista sostanziale o Lagrangiano), anche considerando quanto avviene in un determinato
punto dello spazio dove passano successivamente diverse particelle ( detto punto di vista
locale o Euleriano). Nel primo caso viene fissato il punto iniziale (x 0 1,x 0 2,x 0 3) e le coordinate (6.15)
sono variabili e dipendenti da t; nel secondo caso viene fissato il punto nello spazio di coordinate
(x1,x2,x3) e saranno quindi dipendenti dal tempo le coordinate x 0 i del punto che all’istante t saranno
in (x1,x2,x3).