Note del corso di Fisica Matematica A

6.2 Cinematica dei continui deformabili 141
Premesso ció valutiamo la massima differenza tra le intensità di FA e FB per le quali si ha ancora
equilibrio. La massima intensità si avrà quando la (6.10) è della forma
dτ τ
= fs che ha soluzione log(τB/τA) =
ds γ
ρc
ds
fs
ρc
(6.11)
dove τB e τA denotano le intensità della tensione in A e B e dove γ è la traiettoria congiungente A e
B.
Nel caso particolare di una corda avvolta ad un cilindro di raggio r allora la (6.11) assume la
forma (indipendente dal raggio r) τB = τAe fsθ dove θ designa l’angolo al centro (θ ∈ R) compreso
tra A e B.
6.2 Cinematica dei continui deformabili
Nel seguito, per comoditá di notazione, gli assi del sistema di riferimento hanno coordinate x1, x2 e
x3 invece che, come usuale, x, y e z.
6.2.1 Introduzione
Studieremo inizialmente, da un punto di vista cinematico (cioé senza occuparci delle forze), i movimenti
e le deformazioni dei mezzi continui; rientra in questo studio, come caso particolare, anche
il caso dei corpi rigidi anche se fisseremo l’attenzione sulle deformazioni dei corpi elastici e sui
movimenti dei fluidi. La differenza tra i tre casi, da un punto di visto cinematico, è solo questa: in
un corpo rigido la distanza tra due punti qualunque si mantiene sempre invariata, in
un corpo soggetto a deformazione elastica tale distanza varia entro certi limiti ristretti
mentre in un fluido la distanza tra due particelle può variare comunque.
Uno dei primi e basilari postulati che si ammettono a base di questa teoria è quello della conservazione
della massa che implica che i punti materiali P, riguardati come particelle di volume
dv e massa dm = ρdv, se ρ = ρ(P;t) è la densità, non possono in ogni istante né lacerarsi e né
sovrapporsi. Ciò equivale a ritenere che, fissata una qualunque terna di riferimento (O;x 1,x 2,x 3),
vi sia in ogni istante una corrispondenza biunivoca e continua fra i punti P 0 (x 0 1,x 0 2,x 0 3)
di una configurazione iniziale C 0 del corpo ad un istante t0 ed i punti P(x1,x2,x3) di una
configurazione C generica ad un istante t, cosí che ogni particella P è distinta (individualizzata)
fra tutte le altre dalla sua posizione iniziale P 0 . Analiticamente ciò equivale a pensare
P = P(x 0 1,x 0 2,x 0 3;t), ossia xi = xi(x 0 1,x 0 2,x 0 3;t), i = 1,2,3. (6.12)
La corrispondenza espressa dalla (6.12) deve dunque diventare invertibile e bicontinua, perché fissato
unqualunqueP ∈ C videveessereunsoloP 0 ∈ C0 dacuiessoproviene. Atalescoposirichiedechele
funzioni xi = xi(x0 1,x0 2,x0 3;t) siano continue con derivata priva continua e che il determinante
Jacobiano definito da
⎛ ⎞
J(P;t) =
∂xi
∂x0
j
= det
∂x1
∂x0 ∂x1
1 ∂x0 ∂x1
2 ∂x0 3
∂x2
∂x0 ∂x2
1 ∂x0 ∂x2
2 ∂x0 3
∂x3
∂x0 ∂x3
1 ∂x0 ∂x3
2 ∂x0 3
sia sempre diverso da zero. In particolare, poiché per t = 0 è
⎜
⎝
⎟
⎠
(6.13)