Note del corso di Fisica Matematica A
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6.2 Cinematica dei continui deformabili 141<br />
Premesso ció valutiamo la massima <strong>di</strong>fferenza tra le intensità <strong>di</strong> FA e FB per le quali si ha ancora<br />
equilibrio. La massima intensità si avrà quando la (6.10) è <strong>del</strong>la forma<br />
<br />
dτ τ<br />
= fs che ha soluzione log(τB/τA) =<br />
ds γ<br />
ρc<br />
ds<br />
fs<br />
ρc<br />
(6.11)<br />
dove τB e τA denotano le intensità <strong>del</strong>la tensione in A e B e dove γ è la traiettoria congiungente A e<br />
B.<br />
Nel caso particolare <strong>di</strong> una corda avvolta ad un cilindro <strong>di</strong> raggio r allora la (6.11) assume la<br />
forma (in<strong>di</strong>pendente dal raggio r) τB = τAe fsθ dove θ designa l’angolo al centro (θ ∈ R) compreso<br />
tra A e B.<br />
6.2 Cinematica dei continui deformabili<br />
Nel seguito, per como<strong>di</strong>tá <strong>di</strong> notazione, gli assi <strong>del</strong> sistema <strong>di</strong> riferimento hanno coor<strong>di</strong>nate x1, x2 e<br />
x3 invece che, come usuale, x, y e z.<br />
6.2.1 Introduzione<br />
Stu<strong>di</strong>eremo inizialmente, da un punto <strong>di</strong> vista cinematico (cioé senza occuparci <strong>del</strong>le forze), i movimenti<br />
e le deformazioni dei mezzi continui; rientra in questo stu<strong>di</strong>o, come caso particolare, anche<br />
il caso dei corpi rigi<strong>di</strong> anche se fisseremo l’attenzione sulle deformazioni dei corpi elastici e sui<br />
movimenti dei flui<strong>di</strong>. La <strong>di</strong>fferenza tra i tre casi, da un punto <strong>di</strong> visto cinematico, è solo questa: in<br />
un corpo rigido la <strong>di</strong>stanza tra due punti qualunque si mantiene sempre invariata, in<br />
un corpo soggetto a deformazione elastica tale <strong>di</strong>stanza varia entro certi limiti ristretti<br />
mentre in un fluido la <strong>di</strong>stanza tra due particelle può variare comunque.<br />
Uno dei primi e basilari postulati che si ammettono a base <strong>di</strong> questa teoria è quello <strong>del</strong>la conservazione<br />
<strong>del</strong>la massa che implica che i punti materiali P, riguardati come particelle <strong>di</strong> volume<br />
dv e massa dm = ρdv, se ρ = ρ(P;t) è la densità, non possono in ogni istante né lacerarsi e né<br />
sovrapporsi. Ciò equivale a ritenere che, fissata una qualunque terna <strong>di</strong> riferimento (O;x 1,x 2,x 3),<br />
vi sia in ogni istante una corrispondenza biunivoca e continua fra i punti P 0 (x 0 1,x 0 2,x 0 3)<br />
<strong>di</strong> una configurazione iniziale C 0 <strong>del</strong> corpo ad un istante t0 ed i punti P(x1,x2,x3) <strong>di</strong> una<br />
configurazione C generica ad un istante t, cosí che ogni particella P è <strong>di</strong>stinta (in<strong>di</strong>vidualizzata)<br />
fra tutte le altre dalla sua posizione iniziale P 0 . Analiticamente ciò equivale a pensare<br />
P = P(x 0 1,x 0 2,x 0 3;t), ossia xi = xi(x 0 1,x 0 2,x 0 3;t), i = 1,2,3. (6.12)<br />
La corrispondenza espressa dalla (6.12) deve dunque <strong>di</strong>ventare invertibile e bicontinua, perché fissato<br />
unqualunqueP ∈ C videveessereunsoloP 0 ∈ C0 dacuiessoproviene. Atalescoposirichiedechele<br />
funzioni xi = xi(x0 1,x0 2,x0 3;t) siano continue con derivata priva continua e che il determinante<br />
Jacobiano definito da<br />
⎛ ⎞<br />
J(P;t) =<br />
<br />
<br />
∂xi<br />
<br />
∂x0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
j<br />
= det<br />
∂x1<br />
∂x0 ∂x1<br />
1 ∂x0 ∂x1<br />
2 ∂x0 3<br />
∂x2<br />
∂x0 ∂x2<br />
1 ∂x0 ∂x2<br />
2 ∂x0 3<br />
∂x3<br />
∂x0 ∂x3<br />
1 ∂x0 ∂x3<br />
2 ∂x0 3<br />
sia sempre <strong>di</strong>verso da zero. In particolare, poiché per t = 0 è<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎟<br />
⎠<br />
(6.13)