Note del corso di Fisica Matematica A
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140 6 Cenni <strong>di</strong> meccanica dei continui deformabili<br />
offerta dall’appoggio (supponendo che il peso complessivo sia trascurabile rispetto alle tensioni esercitate<br />
sugli estremi). Supponendo l’assenza <strong>di</strong> attrito allora la reazione è tutta normale; d’altra<br />
parte, lungo la funicolare, essa deve appartenere al piano osculatore e quin<strong>di</strong> in ogni punto <strong>del</strong>la<br />
funicolare il piano osculatore è normale alla superficie <strong>di</strong> appoggio o, equivalentemente, la<br />
normale alla funicolare ha la stessa <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong>la normale alla superficie <strong>di</strong> appoggio. Quin<strong>di</strong> la<br />
funicolare descrive sulla superficie una curva geodetica. Possiamo quin<strong>di</strong> concludere che Teorema.<br />
τ <br />
<br />
Fig. 6.3. Nel caso <strong>di</strong> un filo appoggiato ad una superficie levigata la tensione si trasmette inalterata in grandezza: |τA| = |τB|<br />
e resta sempre tangente alla superficie.<br />
Un filo teso sopra una superficie priva d’attrito e soggetto a forze attive soltanto agli estremi, si<br />
<strong>di</strong>spone secondo una geodetica <strong>del</strong>la superficie.<br />
Inoltre, poiché in con<strong>di</strong>zioni statiche, la reazione è in ogni punto normale alla superficie si ha<br />
Ft = 0 e quin<strong>di</strong> risulta τ = costante. Cioé la tensione si trasmette inalterata in intensità da<br />
un capo all’altro <strong>del</strong> filo.<br />
Superficie scabra<br />
Applichiamo le equazioni intrinseche (6.7) allo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>le configurazioni <strong>di</strong> un filo (teso) appoggiato<br />
ad una superficie scabra. Qui, la sollecitazione continua lungo il filo si riduce alla sola reazione offerta<br />
dall’appoggio (supponendo che il peso complessivo sia trascurabile rispetto alle tensioni esercitate<br />
sugli estremi). A <strong>di</strong>fferenza <strong>del</strong> caso precedente F non è necessariamente normale alla superficie <strong>di</strong><br />
appoggio σ e quin<strong>di</strong> Ft sarà in generale <strong>di</strong>versa da zero e quin<strong>di</strong> τ varierà lungo il filo. Per valutare<br />
la tensione <strong>di</strong> τ lungo il filo ci restringiamo al caso particolare in cui il filo è adagiato lungo una<br />
geodetica in modo che Fn si identifichi con la reazione normale (in quanto la normale principale alla<br />
curva ˆn è normale alla superficie, deve essere anche Fn ≤ 0 in modo che τ ≥ 0) e che, essendo Fb = 0,<br />
l’attrito statico risulti <strong>di</strong>retto lungo la tangente alla funicolare e perció coincide con Ft. Quin<strong>di</strong> la<br />
con<strong>di</strong>zione <strong>del</strong>l’attrito radente<br />
<br />
<br />
dτ<br />
<br />
τ<br />
|Ft| ≤ fs|Fn| assume la forma ≤ fs . (6.10)<br />
ds<br />
<br />
τ <br />
ρc