Note del corso di Fisica Matematica A

140 6 Cenni di meccanica dei continui deformabili
offerta dall’appoggio (supponendo che il peso complessivo sia trascurabile rispetto alle tensioni esercitate
sugli estremi). Supponendo l’assenza di attrito allora la reazione è tutta normale; d’altra
parte, lungo la funicolare, essa deve appartenere al piano osculatore e quindi in ogni punto della
funicolare il piano osculatore è normale alla superficie di appoggio o, equivalentemente, la
normale alla funicolare ha la stessa direzione della normale alla superficie di appoggio. Quindi la
funicolare descrive sulla superficie una curva geodetica. Possiamo quindi concludere che Teorema.
τ
Fig. 6.3. Nel caso di un filo appoggiato ad una superficie levigata la tensione si trasmette inalterata in grandezza: |τA| = |τB|
e resta sempre tangente alla superficie.
Un filo teso sopra una superficie priva d’attrito e soggetto a forze attive soltanto agli estremi, si
dispone secondo una geodetica della superficie.
Inoltre, poiché in condizioni statiche, la reazione è in ogni punto normale alla superficie si ha
Ft = 0 e quindi risulta τ = costante. Cioé la tensione si trasmette inalterata in intensità da
un capo all’altro del filo.
Superficie scabra
Applichiamo le equazioni intrinseche (6.7) allo studio delle configurazioni di un filo (teso) appoggiato
ad una superficie scabra. Qui, la sollecitazione continua lungo il filo si riduce alla sola reazione offerta
dall’appoggio (supponendo che il peso complessivo sia trascurabile rispetto alle tensioni esercitate
sugli estremi). A differenza del caso precedente F non è necessariamente normale alla superficie di
appoggio σ e quindi Ft sarà in generale diversa da zero e quindi τ varierà lungo il filo. Per valutare
la tensione di τ lungo il filo ci restringiamo al caso particolare in cui il filo è adagiato lungo una
geodetica in modo che Fn si identifichi con la reazione normale (in quanto la normale principale alla
curva ˆn è normale alla superficie, deve essere anche Fn ≤ 0 in modo che τ ≥ 0) e che, essendo Fb = 0,
l’attrito statico risulti diretto lungo la tangente alla funicolare e perció coincide con Ft. Quindi la
condizione dell’attrito radente
dτ
τ
|Ft| ≤ fs|Fn| assume la forma ≤ fs . (6.10)
ds
τ
ρc