Note del corso di Fisica Matematica A

Per determinare la tensione la prima delle equazioni indefinite dà
−1
dx
τ = ϕ = ϕ 1+y
ds
′2
ϕ
= ϕ
p y′′
= ϕ2
cosh(x/λ) = py
pλ
6.1 Un caso particolare: statica dei fili 139
cioé in un punto generico di una catenaria omogenea la tensione è uguale al peso di un tratto di filo di
lunghezza uguale alla distanza del punto dalla base; quindi la tensione è minima nel punto più
basso della funicolare ed assume qui il valore pλ = ϕ, componente tangenziale costante
della tensione.
Inoltre
da cui segue
dx
ds =
1
√ 1+y ′2 =
1
1+sinh 2 (x/λ) =
1
cosh(x/λ)
ds
= cosh(x/λ) e quindi s(x) = λsinh(x/λ) (6.9)
dx
convenendo di misurare gli archi s della funicolare a partire dal punto della curva di ascissa x = 0 e
nel verso delle x crescenti.
Imponiamo ora che la catenaria passi per due punti dati A e B e abbia lunghezza ℓ; per fare ciò
esprimiamo la catenaria rispetto ad un sistema di coordinate avente centro A dove, effettuando una
traslazione qualunque, le (6.8) e (6.9) diventano
y(x) = λcosh[(x−x0)/λ]+y0, s(x) = λsinh[(x−x0)/λ]
dove s(x) denota l’ascissa curvilinea della catenaria, misurata a partire dal punto di ascissa x0.
Supponiamo, senza perdere in generalità, che sia 0 = xA < xB e 0 = yA ≤ yB, cioè A coincide con
l’origine e xB > 0 e yB ≥ 0, ed inoltre sarà ℓ 2 ≥ x 2 B +y 2 B. La condizione che la curva passi per A e
poi per B impone
−y0 = λcosh(x0/λ)
yB = λ{cosh[(xB −x0)/λ]−cosh(x0/λ)}
ed inoltre deve essere ℓ = s(xB)−s(0), cioé
ℓ = λ{sinh[(xB −x0)/λ]+sinh(x0/λ)}.
Ora quadrando le ultime due e sottraendole tra loro si ha ℓ 2 −y 2 B = 2λ 2 [cosh(xB/λ)−1] e, ponendo
ξ = xB/2λ e q 2 = (ℓ 2 − y 2 B)/x 2 B ≥ 1, e ricordando che coshz − 1 = 2sinh 2 (z/2), si ottiene infine
sinh 2 ξ
ξ2 = q2 e quindi sinhξ
ξ
= q essendo q e ξ positivi. Questa è una equazione nella sola incognita
; questa equazione ha una sola
ξ o, in ultima analisi, nella tensione orizzontale essendo ϕ = xBp
2ξ
soluzione (per ξ positivi). Individuato così il valore di ξ segue il valore di λ e quindi il valore di x0
e, poi, di y0.
6.1.4 Complementi: filo teso su una superficie
Superficie liscia (o levigata)
Applichiamo le equazioni intrinseche (6.7) allo studio delle configurazioni di un filo (teso) appoggiato
ad una superficie levigata. Qui, la sollecitazione continua lungo il filo si riduce alla sola reazione