Note del corso di Fisica Matematica A

138 6 Cenni di meccanica dei continui deformabili
verticale di A e B e, orientando l’asse y verticale ascendente e x in modo che sia xB > xA allora le
equazioni precedenti assumono la forma
⎧
⎪⎨
τ dx = ϕ ds
τ dy
d
ds ds
⎪⎩
2 dx
ds
= p,
+ dy
ds
dove la costante ϕ deve essere positiva in virtù di quanto detto in precedenza ed in virtù della scelta
dell’orientamento dell’asse x. Da ció segue che τ(s) > 0 e dx = 0 per ogni s, da quest’ultima relazione
ds
e dal teorema della funzione inversa é possibile esprimere la curva attraverso una relazione y = y(x),
pertanto il sistema prende la forma
⎧
⎪⎨
τ
⎪⎩
dx = ϕ ds
d
ds (y′ ) = p
ϕ ,
2
′2
1+y = 1
dx
ds
dove y ′ denota dy
. Dalla terza relazione allora la seconda equazione può essere scritta come
dx
che integrata dà
2
y ′′ p
=
1+y ′2 ϕ
= 1
log 1+y ′2
′
+y = p
ϕ x+Cost.
dove, per effetto di una traslazione degli assi parallela all’asse y, si puó scegliere l’origine in modo
che l’asse delle x sia parallelo alla tangente alla funicolare (in modo che sia y ′ (0) = 0), si sceglie la
costante nulla. Questa equazione può poi essere messa nella forma
che, osservando
1+y ′2 +y ′ = e p
ϕ x
1+y ′2
′ +y 1+y ′2
′ −y = 1, deve valere anche la
1+y ′2 −y ′ = e − p
ϕ x .
Allora, sottraendo la seconda alla prima, si ottiene
che ha soluzione generale
y ′ = sinh(px/ϕ)
y(x) = λcosh(x/λ)+Cost. (6.8)
dove abbiamo posto λ = ϕ/p e dove la costante di integrazione può essere scelta nulla per effetto di
una traslazione degli assi parallela all’asse x. La curva (6.8) prende il nome di catenaria omogenea
e (assumendo la costante nulla) ha vertice di valore λ.