Note del corso di Fisica Matematica A

Queste equazioni, proiettate sulla terna intrinseca, diventano
dτ
ds +Ft = 0,
τ
ρc
6.1 Un caso particolare: statica dei fili 137
+Fn = 0, Fb = 0 (6.7)
cheprendonoilnomediequazioni intrinseche dell’equilibrio dei fili flessibili ed inestendibili.
In particolare risulta che in condizioni statiche, la forza unitaria, in ogni punto della funicolare,
è contenuta nel rispettivo piano osculatore.
Un’altra notevole proprietà segue direttamente dalla prima delle (6.7) nel caso di forze posizionali.
Infatti, se U denota una primitiva di Ft, cioé U(s) = s Ft(s)ds+c, coincidente con il potenziale di
F nel caso in cui questa sia conservativa, allora segue che
d(τ +U)
ds
= 0, cioé τ +U = costante.
Quindi se le forze sono conservative (o anche posizionali), la tensione differisce solo per
una costante dal potenziale cambiato di segno (cioé dell’energia potenziale).
6.1.3 Complementi: filo soggetto ad un sistema di forze parallele
Supponiamo che il filo sia sollecitato da forze parallele e che si scelga il sistema di riferimento in
modo tale che sia Fx ≡ Fz ≡ 0. La prima e la terza delle (6.4) danno, rispettivamente
τ dx
ds
= ϕ, τdz
ds
doveC eϕdesignanoduecostantiarbitrarie. Daquesterelazioni,eliminandoτ siottieneC dx
ds−ϕdz ds =
0 che integrata, Cx(s) − ϕz(s) = Cost. esprime il fatto che la curva giace in un piano parallelo
all’asse delle y, cioé alla comune direzione delle forze attive. Osserviamo che abbiamo escluso il caso
particolare in cui C = ϕ = 0; tale caso è possibile solo quando siamo nei seguenti due casi banali
(che quindi escluderemo): il caso in cui F è identicamente nulla ed il caso della funicolare rettilinea
avente la stessa direzione della forza F. Escludendo quindi questi due casi scegliamo il riferimento
con origine O in A, in modo che sia x(0) = y(0) = z(0) = 0 da cui deve essere Cx(s)−ϕz(s) = 0, e
orientato in modo che sia C = 0; cioé la funicolare sia nel piano z = 0. Rimangono, per definire la
curva e la tensione, le tre equazioni
⎧
⎪⎨
τ
⎪⎩
dx = ϕ ds
d τ ds
dy
= −Fy, ds
2 dx + ds
dy
2
= 1 ds
dove la ϕ è una costante a priori arbitraria e differente da zero. Dalla prima equazione e ricordando
che τ ·ˆt = τ dx si osserva subito che: lungo la funicolare è costante la componente della
ds
tensione normale alla direzione della sollecitazione, nel caso particolare della forza peso è
costante la componente orizzontale.
Catenaria omogenea
Consideriamo il caso in cui la funicolare sia omogenea e sia soggetta alla sola forza peso p, sia inoltre
sospesa a due estremi A e B (non situati sulla stessa verticale). La funicolare giacerà nel piano
= C